Cho ( O ) đường kính AB và điểm C bất kỳ thuộc ( O ) sao cho AC < BC. Kẻ tiếp tuyến tại A của đường tròn, tiếp tuyến này cắt tia BC ở D. Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại C cắt AD ở E
a) C/m : Tgiac ABC vuông tại C và OE vuông góc AC
b) C/m : BC . BD = 4R\(^2\) và OE // BD
c) C/m : AE = ED
d) Trên tia đối của tia CE lấy điểm F sao cho FC = FB. C/m FB là tiếp tuyến của đường tròn
e) C/m : Tgiac EOF vuông
a: Xét (O) có
ΔACB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔACB vuông tại C
=>AC\(\perp\)CB tại C
=>AC\(\perp\)DB tại C
Xét (O) có
EA,EC là tiếp tuyến
Do đó: EA=EC và OE là phân giác của \(\widehat{AOC}\)
EA=EC
=>E nằm trên đường trung trực của AC(1)
OA=OC
=>O nằm trên đường trung trực của AC(2)
Từ (1) và (2) suy ra OE là đường trung trực của AC
=>OE\(\perp\)AC
b: OE\(\perp\)AC
AC\(\perp\)BD
Do đó: OE//BD
Xét ΔDAB vuông tại A có AC là đường cao
nên \(BC\cdot BD=BA^2=4R^2\)
c: \(\widehat{EAC}+\widehat{EDC}=90^0\)(ΔACD vuông tại C)
\(\widehat{ECA}+\widehat{ECD}=\widehat{ACD}=90^0\)
mà \(\widehat{EAC}=\widehat{ECA}\)
nên \(\widehat{EDC}=\widehat{ECD}\)
=>ED=EC
mà EC=EA
nên EA=ED
d: Xét ΔOCF và ΔOBF có
OC=OB
CF=BF
OF chung
Do đó: ΔOCF=ΔOBF
=>\(\widehat{OCF}=\widehat{OBF}=90^0\)
=>FB là tiếp tuyến của (O)
e: ΔOBF=ΔOCF
=>\(\widehat{BOF}=\widehat{COF}\)
=>OF là phân giác của \(\widehat{COB}\)
=>\(\widehat{COB}=2\cdot\widehat{COF}\)
\(\widehat{EOF}=\widehat{EOC}+\widehat{FOC}\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{COA}+\widehat{COB}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\cdot180^0=90^0\)
=>ΔEOF vuông tại O
