Question

Cho đường tròn(O;R), đường kính AB. Gọi I là trung điểm BO, qua I kẻ dây CD vuông góc vs AB. Tiếp tuyến tại C của (O) cắt tia AB tại E

a) tính OE

b) tg ACED là hình gì?

c) c/m ED là tiếp tuyến của (O)

d) c/m AC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OE 

Answer 1

a: Xét ΔCOB có

CI là đường cao

CI là đường trung tuyến

Do đó: ΔCOB cân tại C

mà OC=OB

nên ΔCOB đều

=>\(\widehat{COB}=60^0=\widehat{CBA}\)

Xét ΔOCE vuông tại C có \(cosCOB=\dfrac{OC}{OE}\)

=>\(\dfrac{R}{OE}=\dfrac{1}{2}\)

=>OE=2R

b: 

ΔOCE vuông tại C

=>\(\widehat{COE}+\widehat{CEO}=90^0\)

=>\(\widehat{CEO}=90^0-60^0=30^0\)

ΔOCD cân tại O

mà OE là đường cao

nên OE là phân giác của góc COD

Xét ΔOCE và ΔODE có

OC=OD

\(\widehat{COE}=\widehat{DOE}\)

OE chung

Do đó: ΔOCE=ΔODE
=>\(\widehat{CEO}=\widehat{DEO}=30^0\)

=>\(\widehat{CED}=60^0\)

Xét ΔECD có

EI là đường cao

EI là trung tuyến

Do đó: ΔECD cân ạti E

=>EC=ED

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>\(\widehat{CAB}+\widehat{CBA}=90^0\)

=>\(\widehat{CAB}=90^0-60^0=30^0\)

Xét ΔCAE có \(\widehat{CAE}=\widehat{CEA}=30^0\)

nên ΔCAE cân tại C

ΔCAE cân tại C

mà CI là đường cao

nên I là trung điểm của AE

Xét tứ giác ACED có

I là trung điểm chung của AE và CD

nên ACED là hình bình hành

mà EC=ED

nên ACED là hình thoi

c: ΔOCE=ΔODE

=>\(\widehat{ODE}=\widehat{OCE}=90^0\)

=>ED là tiếp tuyến của (O)