Question

Cho (o) đường kính AB=2R. Gọi I là trung điểm OB, qua I kẻ CD vuông góc với OB. Tiếp tuyến tại C của (o) cắt tia AB tại E

A, tính OE theo R

B, tứ giác ACED là hình gì? Tính diện tích yues giác ACED theo R

C, cmr ED là tiếp tuyền của (o)

D, cmr B là trực tâm tâm giác CDE

Answer 1

a: Xét ΔCOB có

CI là đường cao

CI là đường trung tuyến

Do đó: ΔCOB cân tại C

=>CB=CO

mà OB=OC(=R)

nên CB=CO=OB

=>ΔCOB đều

=>\(\widehat{COB}=60^0\)

Xét ΔOCE vuông tại C có \(cosCOE=\dfrac{CO}{OE}\)

=>\(\dfrac{R}{OE}=cos60=\dfrac{1}{2}\)

=>OE=2R

b: Ta có: ΔOCD cân tại O

mà OI là đường cao

nên I là trung điểm của CD

Xét ΔCOD vuông tại C có CI là đường cao

nên \(OI\cdot OE=OC^2;EI\cdot EO=EC^2\)

=>\(\dfrac{OI\cdot OE}{EI\cdot EO}=\left(\dfrac{OC}{EC}\right)^2\)

=>\(\dfrac{OI}{EI}=\left(cot60\right)^2=tan^230^0=\dfrac{1}{3}\)

=>EI=3OI

I là trung điểm của OB nên IO=IB=OB/2

Ta có: AO+OI=AI

=>\(AI=BO+IO=BO+\dfrac{OB}{2}=\dfrac{3}{2}OB\)

=>\(AI=3\cdot\dfrac{1}{2}\cdot OB=3\cdot OI\)

=>AI=EI

=>I là trung điểm của AE

Xét tứ giác ACED có

I là trung điểm chung của AE và CD

Do đó: ACED là hình bình hành

Hình bình hành ACED có AE\(\perp\)CD

nên ACED là hình thoi

c: Xét ΔOCE và ΔODE có

OC=OD

EC=ED
OE chung

Do đó: ΔOCE=ΔODE
=>\(\widehat{OCE}=\widehat{ODE}=90^0\)

=>DE là tiếp tuyến của (O)

d: Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>AC\(\perp\)CB

mà AC//DE(ACED là hình bình hành)

nên CB\(\perp\)DE

Xét ΔECD có

EI,CB là các đường cao

EI cắt CB tại B

Do đó: B là trực tâm của ΔCDE