Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho vectơ \(\overrightarrow u \) (Hình 7). Hãy xác định điểm A sao cho \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow u \).
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho vectơ\(\overrightarrow u {\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {a;{\rm{ }}b} \right)\) . Ta chọn điểm A sao cho\(\overrightarrow {OA} {\rm{ }} = {\rm{ }}\overrightarrow u \) . Xét vectơ đơn vị \(\overrightarrow i \) trên trục hoành Ox và vectơ đơn vị \(\overrightarrow j \) ở trên trục tung Oy (Hình 12).
a) Tìm hoành độ và tung độ của điểm A.
b) Biểu diễn vectơ OH qua vectơ \(\overrightarrow i \).
c) Biểu diễn vectơ OK qua vecto \(\overrightarrow j \).
d) Chứng tỏ rằng\(\overrightarrow u = a\overrightarrow i + b\overrightarrow j \)
a) Do \(\overrightarrow {OA} {\rm{ }} = {\rm{ }}\overrightarrow u \) nên tọa độ vecto \(\overrightarrow {OA} = \left( {a;b} \right)\). Vậy tọa độ điểm A là: \(A\left( {a;b} \right)\)
b) TỌa độ điểm H là \(H\left( {a;0} \right)\) nên \(\overrightarrow {OH} = \left( {a;0} \right)\). Do đó, \(\overrightarrow {OH} = a\overrightarrow i \)
c) TỌa độ điểm K là \(K\left( {0;b} \right)\) nên \(\overrightarrow {OK} = \left( {0;b} \right)\). Do đó, \(\overrightarrow {OK} = b\overrightarrow j \)
d) Ta có: \({\rm{ }}\overrightarrow u = \overrightarrow {OA} {\rm{ }} = \overrightarrow {OH} + \overrightarrow {OK} = a\overrightarrow i + b\overrightarrow j \) (đpcm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ không cùng phương \(\overrightarrow u = \left( {x;y} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {x'y'} \right)\).
a) Xác định tọa độ của các điểm A và B sao cho \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow u ,\;\overrightarrow {OB} = \overrightarrow v .\)
b) Tính \(A{B^2},O{A^2},O{B^2}\) theo tọa độ của A và B.
c) Tính \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} \) theo tọa độ của A, B.
a) Vì \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow u = (x;y)\) nên A(x; y).
Tương tự: do \(\overrightarrow {OB} = \overrightarrow v = \left( {x'y'} \right)\) nên B (x’; y’)
b) Ta có: \(\overrightarrow {OA} = (x;y) \Rightarrow O{A^2} = {\left| {\overrightarrow {OA} } \right|^2} = {x^2} + {y^2}.\)
Và \(\overrightarrow {OB} = (x'y') \Rightarrow O{B^2} = {\left| {\overrightarrow {OB} } \right|^2} = x{'^2} + y{'^2}.\)
Lại có: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} = \left( {x'y'} \right) - \left( {x;y} \right) = \left( {x' - x;y' - y} \right)\)
\( \Rightarrow A{B^2} = {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2} = {\left( {x' - x} \right)^2} + {\left( {y' - y} \right)^2}.\)
c) Theo định lí cosin trong tam giác OAB ta có:
\(\cos \widehat O = \frac{{O{A^2} + O{B^2} - A{B^2}}}{{2.OA.OB}}\)
Mà \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = \left| {\overrightarrow {OA} } \right|.\left| {\overrightarrow {OB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right) = OA.OB.\cos \widehat O\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = OA.OB.\frac{{O{A^2} + O{B^2} - A{B^2}}}{{2.OA.OB}} = \frac{{O{A^2} + O{B^2} - A{B^2}}}{2}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = \frac{{{x^2} + {y^2} + x{'^2} + y{'^2} - {{\left( {x' - x} \right)}^2} - {{\left( {y' - y} \right)}^2}}}{2}\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = \frac{{ - \left( { - 2x'.x} \right) - \left( { - 2y'.y} \right)}}{2} = x'.x + y'.y\end{array}\)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy (Hình 18), cho hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {{x_1},{y_1}} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {{x_2},{y_2}} \right)\)
a) Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) theo hai vectơ \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow j \)
b) Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow u + \overrightarrow v \),\(\overrightarrow u - \overrightarrow v \),\(k\overrightarrow u \left( {k \in \mathbb{R}} \right)\) theo hai vectơ \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow j \)
c) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow u + \overrightarrow v \),\(\overrightarrow u - \overrightarrow v \),\(k\overrightarrow u \left( {k \in \mathbb{R}} \right)\)
a) Do \(\overrightarrow u = \left( {{x_1},{y_1}} \right)\), \(\overrightarrow v = \left( {{x_2},{y_2}} \right)\) nên \(\overrightarrow u = {x_1}\overrightarrow i + {y_1}\overrightarrow j .\), \(\overrightarrow v = {x_2}\overrightarrow i + {y_2}\overrightarrow j .\)
b) +) \(\overrightarrow u + \overrightarrow v = \left( {{x_1}\overrightarrow i + {y_1}\overrightarrow j } \right) + \left( {{x_2}\overrightarrow i + {y_2}\overrightarrow j } \right) = \left( {{x_1}\overrightarrow i + {x_2}\overrightarrow i } \right) + \left( {{y_1}\overrightarrow j + {y_2}\overrightarrow j } \right) = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\overrightarrow i + \left( {{y_1} + {y_2}} \right)\overrightarrow j \)
+) \(\overrightarrow u - \overrightarrow v = \left( {{x_1}\overrightarrow i + {y_1}\overrightarrow j } \right) - \left( {{x_2}\overrightarrow i + {y_2}\overrightarrow j } \right) = \left( {{x_1}\overrightarrow i - {x_2}\overrightarrow i } \right) + \left( {{y_1}\overrightarrow j - {y_2}\overrightarrow j } \right) = \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\overrightarrow i + \left( {{y_1} - {y_2}} \right)\overrightarrow j \)
+) \(k\overrightarrow u = \left( {k{x_1}} \right)\overrightarrow i + \left( {k{y_1}} \right)\overrightarrow j \)
c) Tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow u + \overrightarrow v \),\(\overrightarrow u - \overrightarrow v \),\(k\overrightarrow u \left( {k \in \mathbb{R}} \right)\)lần lượt là:
\(\left( {{x_1} + {x_2};{y_1} + {y_2}} \right),\left( {{x_1} - {x_2};{y_1} - {y_2}} \right),\left( {k{x_1},k{y_1}} \right)\)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G ( minh họa ở Hình 20)
a) Biểu diễn vectơ \(\overrightarrow {OG} \) theo ba vectơ \(\overrightarrow {OA} \) , \(\overrightarrow {OB} \)và \(\overrightarrow {OC} \)
b) Tìm tọa độ G theo tọa độ của A, B, C
a) Ta có vectơ \(\overrightarrow {OG} \) theo ba vectơ \(\overrightarrow {OA} \) , \(\overrightarrow {OB} \)và \(\overrightarrow {OC} \) là: \(\overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\)
b) Do tọa độ ba điểm A , B và C là: \(A\left( {{x_A},{y_A}} \right),B\left( {{x_B},{y_B}} \right),C\left( {{x_C},{y_C}} \right)\) nên ta có:\(\overrightarrow {OA} = \left( {{x_A},{y_A}} \right),\overrightarrow {OB} = \left( {{x_B},{y_B}} \right),\overrightarrow {OC} = \left( {{x_C},{y_C}} \right)\)
Vậy\(\overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right) = \frac{1}{3}\left( {{x_A} + {x_B} + {x_C};{y_A} + {y_B} + {y_C}} \right) = \left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right)\)
Tọa độ điểm G chính là tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {OG} \) nên tọa độ G là \(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right)\)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho \(\overrightarrow u = (2; - 3),\;\overrightarrow v = (4;1),\;\overrightarrow a = (8; - 12)\)
a) Hãy biểu thị mỗi vectơ \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v ,\;\overrightarrow a \) theo các vectơ \(\overrightarrow i ,\;\overrightarrow j \)
b) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow u + \;\overrightarrow v ,\;4.\;\overrightarrow u \)
c) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow a \)
a) Ta có: \(\overrightarrow u = (2; - 3)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow u = 2.\;\overrightarrow i + \left( { - 3} \right).\;\overrightarrow j \)
Tương tự ta có: \(\overrightarrow v = (4;1),\;\overrightarrow a = (8; - 12)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow v = 4.\;\overrightarrow i + 1.\;\overrightarrow j ;\;\;\overrightarrow a = 8.\;\overrightarrow i + \left( { - 12} \right).\;\overrightarrow j \)
b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u = 2.\;\overrightarrow i + \left( { - 3} \right).\;\overrightarrow j \\\overrightarrow v = 4.\;\overrightarrow i + 1.\;\overrightarrow j \end{array} \right.\)(theo câu a)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u + \;\overrightarrow v = \left( {2.\;\overrightarrow i + \left( { - 3} \right).\;\overrightarrow j } \right) + \left( {4.\;\overrightarrow i + 1.\;\overrightarrow j } \right)\\4.\;\overrightarrow u = 4\left( {2.\;\overrightarrow i + \left( { - 3} \right).\;\overrightarrow j } \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u + \;\overrightarrow v = \left( {2.\;\overrightarrow i + 4.\;\overrightarrow i } \right) + \left( {\left( { - 3} \right).\;\overrightarrow j + 1.\;\overrightarrow j } \right)\\4.\;\overrightarrow u = 4.2.\;\overrightarrow i + 4.\left( { - 3} \right).\;\overrightarrow j \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u + \;\overrightarrow v = 6.\;\overrightarrow i + \left( { - 2} \right).\;\overrightarrow j \\4.\;\overrightarrow u = 8.\;\overrightarrow i + \left( { - 12} \right).\;\overrightarrow j \end{array} \right.\end{array}\)
c) Vì \(\left\{ \begin{array}{l}4.\;\overrightarrow u = 8.\;\overrightarrow i + \left( { - 12} \right).\;\overrightarrow j \\\overrightarrow a = 8.\;\overrightarrow i + \left( { - 12} \right).\;\overrightarrow j \end{array} \right.\) nên ta suy ra \(4.\;\overrightarrow u = \overrightarrow a \)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng \(\Delta \) . Vẽ vectơ \(\overrightarrow u \) (\(\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0 \)) có giá song song (hoặc trùng) với đường thẳng \(\Delta \).
Nhận xét
• Nếu ủ là một vectơ chỉ phương của A thì \(k\overrightarrow u \) (\(k \ne 0\))cũng là một vectơ chỉ phương của A.
• Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các vectơ \(\overrightarrow{a}\) = (2 , 5) , \(\overrightarrow{b}\)= (-1,4) , \(\overrightarrow{c}\)= (3,0)
a, tìm toạ độ của các vecto sau \(\overrightarrow{a}\) + \(\overrightarrow{b}\) ,\(\overrightarrow{b}\) - \(\overrightarrow{c}\) , 5\(\overrightarrow{a}\)
b, hãy biểu diễn vectơ \(\overrightarrow{a}\) theo hai vectơ \(\overrightarrow{b}\) ,\(\overrightarrow{c}\)
c, cho x = ( 3m ; 2m +1 ) , tìm số m sao cho \(\overrightarrow{\text{x}}\) cùng phương vectơ \(\overrightarrow{a}\) + 2\(\overrightarrow{c}\)
Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M. Xác định tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {OM} \).
Cho điểm M(x;y) bất kì, xác định \({M_1},{M_2}\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của M xuống trục hoành và trục tung
Dễ thấy \(\overrightarrow {O{M_1}}= x\overrightarrow i ; \, \overrightarrow {O{M_2}} = y \overrightarrow j \)
Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {O{M_1}} + \overrightarrow {O{M_2}} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j \)
Vậy tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {OM} \) là (x;y), trùng với tọa độ điểm M.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho \(\overrightarrow a = \left( { - 1;2} \right),\overrightarrow b = \left( {3;1} \right),\overrightarrow c = \left( {2; - 3} \right)\).
a) Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow a + \overrightarrow b - 3\overrightarrow c \)
b) Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow x \) sao cho \(\overrightarrow x + 2\overrightarrow b = \overrightarrow a + \overrightarrow c \)
a) Tọa độ vectơ \(\overrightarrow u = \left( {2.\left( { - 1} \right) + 3 - 3.2;2.2 + 1 - 3.\left( { - 3} \right)} \right) = \left( { - 5;14} \right)\)
b) Do \(\overrightarrow x + 2\overrightarrow b = \overrightarrow a + \overrightarrow c \Leftrightarrow \overrightarrow x = \overrightarrow a + \overrightarrow c - 2\overrightarrow b = \left( { - 1 + 2 - 2.3;2 + \left( { - 3} \right) - 2.1} \right) = \left( { - 5; - 3} \right)\)
Vậy \(\overrightarrow x = \left( { - 5; - 3} \right)\)