Toán lớp 3 

\(S=2^1+2^2+2^3+...+2^{60}\)

\(2\cdot S=2^2+2^3+2^4+...+2^{61}\)

\(S=2^{61}-2\)

\(\Rightarrow S⋮2\)

Nếu S chia hết cho 2 thì \(S⋮2^2\) (nếu số chính phương chia hết cho số đó thì số chính phương cũng chia hết cho bình phương của số đó)

Ta có:

\(2^{61}=2^2\cdot2^{59}=4\cdot2^{59}⋮4\)

Mà \(2⋮4̸\) nên \(S=2^{61}-2\)\(⋮̸\)\(4\)

Vậy S không phải là số chính phương.

\(S=\left(x+1\right)\left(x+4\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)+1\)

\(=\left(x^2+5x+4\right)\left(x^2+5x+6\right)+1\)

\(=\left(x^2+5x+4\right)\left(x^2+5x+4+2\right)+1\)

\(=\left(x^2+5x+4\right)^2+2\left(x^2+5x+4\right)+1\)

\(=\left(x^2+5x+4+1\right)^2\)

\(=\left(x^2+5x+5\right)^2\) là SCP (đpcm)

\(S=\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)+1=\left(x+1\right)\left(x+4\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)+1\)

\(=\left(x^2+5x+4\right)\left(x^2+5x+6\right)+1\)

Đặt \(t=x^2+5x+5\Rightarrow\) pt trở thành \(\left(t-1\right)\left(t+1\right)+1=t^2-1+1=t^2\)

\(=\left(x^2+5x+5\right)^2\)

Vì \(x\in Z\Rightarrow x^2+5x+5\in Z\Rightarrow\left(x^2+5x+5\right)^2\) là số chính phương