Vẽ ba tam giác nhọn, vuông, tù
a) Xác định điểm O cách đều ba đỉnh của mỗi tam giác
b) Nêu nhận xét của em về vị trí của điểm O trong mỗi trường hợp.
Tham khảo:
a) Vẽ 3 tam giác và xác định điểm O là giao điểm của 3 đường trung trực của 3 cạnh trong tam giác. Khi đó, O cách đều 3 đỉnh của tam giác
b) + Khi tam giác ABC nhọn, điểm O nằm trong tam giác.
+ Khi tam giác ABC vuông, điểm O nằm trên cạnh huyền.
+ Khi tam giác ABC tù, điểm O nằm ngoài tam giác.
Nêu nhận xét về vị trí của hai điểm M, M’ đối với trục Oy. Từ đó nêu các mối quan hệ giữa \(\sin \alpha \) và \(\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right)\), giữa \(\cos \alpha \) và \(\cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right)\).
Tham khảo:
M, M’ là hai điểm trên nửa đường tròn đơn vị tương ứng với hai góc \(\alpha \) và \({180^o} - \alpha \).
Giả sử \(M\left( {{x_0};{y_o}} \right)\). Khi đó \(\cos \alpha = {x_0};\;\;\sin \alpha = {y_o}\)
Trường hợp 1: \(\alpha = {90^o}\)
Khi đó \(\alpha = {180^o} - \alpha = {90^o}\)
Tức là M và M’ lần lượt trùng nhau và trùng với B.
Và \(\left\{ \begin{array}{l}\cos \alpha = - \cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = 0;\\\sin \alpha = \sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = \sin {90^o} = 1.\\\cot \alpha = 0\end{array} \right.\)
Không tồn tại \(\tan \alpha \) với \(\alpha = {90^o}\)
Trường hợp 2: \(\alpha < {90^o} \Rightarrow {180^o} - \alpha > {90^o}\)
M nằm bên phải trục tung
M’ nằm bên trái trục tung
Dễ thấy: \(\widehat {M'OC} = {180^o} - \widehat {xOM'} = {180^o} - \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = \alpha = \widehat {xOM}\)
\( \Rightarrow \widehat {M'OB} = {90^o} - \widehat {M'OC} = {90^o} - \widehat {MOA} = \widehat {MOB}\)
Xét tam giác \(M'OB\) và tam giác \(MOB\) ta có:
\(OM = OM'\)
\(\widehat {M'OB} = \widehat {MOB}\)
OB chung
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta MOB = \Delta M'OB\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OM = OM'\\BM = BM'\end{array} \right.\end{array}\)
Hay OB là trung trực của đoạn thẳng MM’.
Nói cách khác M và M’ đối xứng với nhau qua trục tung.
Mà \(M\left( {{x_0};{y_o}} \right)\) nên \(M'\left( { - {x_0};{y_o}} \right)\)
\(\begin{array}{l}\cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - {x_0} = - \cos \alpha ;\\\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = {y_o} = \sin \alpha .\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\tan \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \tan \alpha \\\cot \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \cot \alpha \end{array} \right.\end{array}\)
Trường hợp 3: \(\alpha > {90^o} \Rightarrow {180^o} - \alpha < {90^o}\)
Khi đó M nằm bên trái trục tung và M’ nằm bên phải trục tung.
Tương tự ta cũng chứng minh được M và M’ đối xứng với nhau qua trục tung.
Như vậy
\(\begin{array}{l}\cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - {x_0} = - \cos \alpha ;\\\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = {y_o} = \sin \alpha .\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\tan \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \tan \alpha \\\cot \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \cot \alpha \end{array} \right.\end{array}\)
Kết luận: Với mọi \({0^o} < \alpha < {180^o}\), ta luôn có
\(\begin{array}{l}\cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \cos \alpha ;\\\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = \sin \alpha .\\\tan \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \tan \alpha \;\;\;(\alpha \ne {90^o})\\\cot \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \cot \alpha \end{array}\)
Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng \({d_1}\)và \({d_2}\) trong các trường hợp sau:
a) \({d_1}:x - 5y + 9 = 0\) và \({d_2}:10x + 2y + 7 = 10\)
b) \({d_1}:3x - 4y + 9 = 0\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 1 + 3t\end{array} \right.\)
c) \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 4t\\y = 4 + 3t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 8t\\y = 1 + 6t\end{array} \right.\)
a) \({d_1}\)và \({d_2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 5} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {10;2} \right)\)
Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 1.10 + ( - 5).2 = 0\) nên \(\overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}} \)
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 5y + 9 = 0\\10x + 2y + 7 = 10\end{array} \right.\) ta được nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{3}{{52}}\\y = \frac{{93}}{{52}}\end{array} \right.\)
Suy ra hai đường thẳng \({d_1}\)và \({d_2}\) vuông góc và cắt nhau tại \(M\left( { - \frac{3}{{52}};\frac{{93}}{{52}}} \right)\)
b) \({d_1}\)và \({d_2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3; - 4} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3, - 4} \right)\)
\(\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} \) trùng nhau nên hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Suy ra \({d_1}\)và \({d_2}\)song song hoặc trùng nhau
Lấy điểm \(A(1;1)\) thuộc \({d_2}\), thay tọa độ của A vào phương trình \({d_1}\), ta được \(3.1 - 4.1 + 9 = 8 \ne 0\), suy ra A không thuộc đường thẳng \({d_1}\)
Vậy hai đường thẳng \({d_1}\)và \({d_2}\) song song
c) \({d_1}\)và \({d_2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3; - 4} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {6; - 8} \right)\)
Ta có \({a_1}{b_2} - {a_2}{b_1} = 3.( - 8) - ( - 4).6 = 0\)suy ra hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Suy ra \({d_1}\)và \({d_2}\)song song hoặc trùng nhau
Lấy điểm \(A(1;1)\) thuộc \({d_2}\), thay tọa độ của A vào phương trình \({d_1}\), ta được \(\left\{ \begin{array}{l}1 = 5 + 4t\\1 = 4 + 3t\end{array} \right. \Leftrightarrow t = - 1\), suy ra A thuộc đường thẳng \({d_1}\)
Vậy hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) trùng nhau
Nêu cách xách định vị trí của một chất điểm? Xét các trường hợp sau:
a) Chất điểm chuyển động trên đường thẳng.
b) Chất điểm chuyển động trên mặt thẳng.
c) Chất điểm chuyển động trong không gian.
Để xác định vị trí của chất điểm, nguyên tắc chung là chọn một vật làm mốc và gắn trên vật mốc đó một hệ tọa độ (gọi là hệ quy chiếu).
a) Trường hợp chất điểm chuyển động trên một đường thẳng:
- Chọn trục x'x trùng với đường thẳng quỹ đạo, gốc tọa độ O và chiều dương là tùy ý (để đơn giản, thường chọn chiều dương là chiều chuyển động). (Hình 1)
- Khi chất điểm ở M, vị trí của chất điểm xác định bởi tạo độ x M = O M ¯ .
b) Trường hợp chất điểm chuyển động trên một mặt phẳng:
- Trong mặt phẳng quỹ đạo, chọn hệ trục tọa độ Đêcác xOy vuông góc. (hình 2)
- Khi chất điểm ở M, vị trí của chất điểm xác đinh bởi các tọa độ: x M và y M .
c) Xác định vị trí của chất điểm chuyển động trong không gian
- Trong không gian, chọn hệ trục tọa độ Đêcác Oxyz vuông góc. (hình 3)
- Khi chất điểm ở M, vị trí của chất điểm xác định bởi các tọa độ: x M ; y M và z M .
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + {t_1}\\y = - 2 + {t_1}\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2{t_2}\\y = - 3 + 2{t_2}\end{array} \right.\)
Ta có: \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;1} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2;2} \right)\). Ta thấy, \(\overrightarrow {{u_2}} = 2\overrightarrow {{u_1}} \).
Chọn điểm \(A\left( {1; - 2} \right) \in {\Delta _1}\). Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng \({\Delta _2}\) ta được \({t_2} = \frac{1}{2} \Rightarrow A\left( {1; - 2} \right) \in {\Delta _2}\).
Vậy 2 đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song với nhau.
Hãy ghi số nguyên thích hợp vào vị trí trên trục số trong mỗi trường hợp sau:
a) Điểm nằm cách điểm a năm đơn vị về bên phải.
b) Điểm nằm cách điểm b bảy đơn vị về bên trái.
c) Điểm nằm cách điểm c mười đơn vị về bên phải.
d) Điểm nằm cách điểm a hai đơn vị về bên trái.
Cho hai tia Ox và Oy là hai tia chung gốc.Gọi A và B là điểm trên các tia Ox:Oy:OA=OB=1,5cm
a)Có nhận xét gì về vị trí 3 điểm A;O;B?
b)Trong trường hợp nào thì điểm O là trung điểm của đoạn AB
Trong trường hợp nào dưới đây \(cos\alpha = cos\beta \) và \(sin\alpha = - sin\beta \).
\(\begin{array}{l}A.\;\beta = - \alpha \\B.\;\beta = \pi - \alpha \\C.\;\beta = \pi + \alpha \\D.\;\beta = \frac{\pi }{2} + \alpha \end{array}\)
+) Xét \(\beta = - \alpha \), khi đó:
\(\begin{array}{l}cos\beta = cos\left( {-{\rm{ }}\alpha } \right) = cos\alpha ;\\sin\beta = sin\left( {-{\rm{ }}\alpha } \right) = -sin\alpha \Leftrightarrow sin\alpha = -sin\beta .\end{array}\)
Do đó A thỏa mãn.
Đáp án: A
Trên đường tròn lượng giác, cho hai điểm M, M’ sao cho góc lượng giác \(\left( {OA,OM} \right) = \alpha ,\,\,\left( {OA,OM'} \right) = - \alpha \) (Hình 13)
a) Đối với hai điểm M, M’ nêu nhận xét về: hoành độ của chúng, tung độ của chúng.
b) Nêu mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác tương ứng của hai góc lượng giác \(\alpha \,\,v\`a \,\, - \alpha \)
a) Hoành độ của điểm M và M’ bằng nhau
Tung độ của điểm M và M’ đối nhau
b) Mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác tương ứng của hai góc lượng giác \(\alpha \,\,v\`a \,\, - \alpha \)
