Tham khảo:

M, M’ là hai điểm trên nửa đường tròn đơn vị tương ứng với hai góc \(\alpha \) và \({180^o} - \alpha \).

Giả sử \(M\left( {{x_0};{y_o}} \right)\). Khi đó \(\cos \alpha  = {x_0};\;\;\sin \alpha  = {y_o}\)

Trường hợp 1:  \(\alpha  = {90^o}\)

Khi đó \(\alpha  = {180^o} - \alpha  = {90^o}\)

Tức là M và M’ lần lượt trùng nhau và trùng với B.

Và  \(\left\{ \begin{array}{l}\cos \alpha  =  - \cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = 0;\\\sin \alpha  = \sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = \sin {90^o} = 1.\\\cot \alpha  = 0\end{array} \right.\)

Không tồn tại \(\tan \alpha \) với \(\alpha  = {90^o}\)

Trường hợp 2: \(\alpha  < {90^o} \Rightarrow {180^o} - \alpha  > {90^o}\)

M nằm bên phải trục tung

M’ nằm bên trái trục tung

Dễ thấy: \(\widehat {M'OC} = {180^o} - \widehat {xOM'} = {180^o} - \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = \alpha  = \widehat {xOM}\)

\( \Rightarrow \widehat {M'OB} = {90^o} - \widehat {M'OC} = {90^o} - \widehat {MOA} = \widehat {MOB}\)

Xét tam giác \(M'OB\) và tam giác \(MOB\)  ta có:

\(OM = OM'\)

\(\widehat {M'OB} = \widehat {MOB}\)

OB chung

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta MOB = \Delta M'OB\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OM = OM'\\BM = BM'\end{array} \right.\end{array}\)

Hay OB là trung trực của đoạn thẳng MM’.

Nói cách khác M và M’ đối xứng với nhau qua trục tung.

Mà \(M\left( {{x_0};{y_o}} \right)\) nên \(M'\left( { - {x_0};{y_o}} \right)\)

\(\begin{array}{l}\cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) =  - {x_0} =  - \cos \alpha ;\\\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = {y_o} = \sin \alpha .\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\tan \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) =  - \tan \alpha \\\cot \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) =  - \cot \alpha \end{array} \right.\end{array}\)

Trường hợp 3: \(\alpha  > {90^o} \Rightarrow {180^o} - \alpha  < {90^o}\)

Khi đó M nằm bên trái trục tung và M’ nằm bên phải trục tung.

Tương tự ta cũng chứng minh được M và M’ đối xứng với nhau qua trục tung.

Như vậy

\(\begin{array}{l}\cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) =  - {x_0} =  - \cos \alpha ;\\\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = {y_o} = \sin \alpha .\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\tan \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) =  - \tan \alpha \\\cot \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) =  - \cot \alpha \end{array} \right.\end{array}\)

Kết luận: Với mọi \({0^o} < \alpha  < {180^o}\), ta luôn có

\(\begin{array}{l}\cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) =  - \cos \alpha ;\\\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = \sin \alpha .\\\tan \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) =  - \tan \alpha \;\;\;(\alpha  \ne {90^o})\\\cot \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) =  - \cot \alpha \end{array}\)

a)  Hoành độ của điểm M và M’ bằng nhau

     Tung độ của điểm M và M’ đối nhau

b)  Mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác tương ứng của hai góc lượng giác \(\alpha \,\,v\`a \,\, - \alpha \)

a) Khi \(\alpha  = {90^o}\), điểm M trùng với điểm C. (Vì \(\widehat {xOC} = \widehat {AOC} = {90^o}\))

Khi \(\alpha  < {90^o}\), điểm M thuộc vào cung AC (bên phải trục tung)

Khi \(\alpha  > {90^o}\), điểm M thuộc vào cung BC (bên trái trục tung)

b) Khi \({0^o} < \alpha  < {90^o}\) , ta có:

\(\begin{array}{l}\cos \alpha  = \frac{{\left| {{x_0}} \right|}}{{OM}} = \left| {{x_0}} \right| = {x_0};\\\sin \alpha  = \frac{{\left| {{y_0}} \right|}}{{OM}} = \left| {{y_o}} \right| = {y_o}\end{array}\)

Vì \(OM = R = 1\); \({x_0} \in \)tia \(Ox\)nên \({x_0} > 0\); \({y_0} \in \)tia \(Oy\)nên \({y_0} > 0\)

Vậy \(\cos \alpha \) là hoành độ \({x_0}\)của điểm M, \(\sin \alpha \) là tung độ \({y_0}\) của điểm M.

Khi thay đổi vị trí của điểm $M$, góc giữa $a'$ và $b'$ sẽ không thay đổi. Điều này có nghĩa là cho dù ta di chuyển điểm $M$, hai đường thẳng $a'$ và $b'$ vẫn song song với nhau và góc giữa chúng không đổi.

a:

Nhận xét: Tất cả các điểm trên m đều có tung độ là 3

b: 

Nhận xét: Tất cả các điểm nằm trên n đều có hoành độ là 2

a) Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}b\parallel b'\\b' \subset \left( P \right)\end{array} \right\} \Rightarrow b\parallel \left( P \right)\)

b) Theo hệ quả 1, ta có:

\(\left. \begin{array}{l}b\parallel \left( {P'} \right)\\M \in b'\\b\parallel b'\end{array} \right\} \Rightarrow b' \subset \left( {P'} \right)\)

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}a \subset \left( P \right)\\a \subset \left( {P'} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow a = \left( P \right) \cap \left( {P'} \right)\\\left. \begin{array}{l}b' \subset \left( P \right)\\b' \subset \left( {P'} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow b' = \left( P \right) \cap \left( {P'} \right)\end{array}\)

Do đó \(a\) và \(b'\) đều là các đường thẳng chung của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\).

Vì \(a\) và \(b'\) phân biệt, mà hai mặt phẳng phân biệt chỉ có duy nhất một đường thẳng chung nên \(\left( P \right) \equiv \left( {P'} \right)\).

Tham khảo:

Trường hợp 1:  \(\alpha  = {90^o}\)

Khi đó \({90^o} - \alpha  = {0^o}\)

Tức là M và N lần lượt trùng nhau với B và A.

Và  \(\cos \alpha  = 0 = \sin \left( {{{90}^o} - \alpha } \right)\)

Trường hợp 2: \({0^o} < \alpha  < {90^o} \Rightarrow {0^o} < {90^o} - \alpha  < {90^0}\)

M và N cùng nằm bên trái phải trục tung.

Ta có: \(\alpha  = \widehat {AOM};\;\;{90^o} - \alpha  = \widehat {AON}\)

Dễ thấy: \(\widehat {AON} = {90^o} - \alpha  = {90^o} - \widehat {NOB}\;\;\; \Rightarrow \alpha  = \widehat {NOB}\)

Xét hai tam giác vuông \(NOQ\) và tam giác \(MOP\)  ta có:

\(OM = ON\)

\(\widehat {POM} = \widehat {QON}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta NOQ = \Delta MOP\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OP = OQ\\QN = MP\end{array} \right.\end{array}\)

Mà \(M\left( {{x_0};{y_o}} \right)\) nên \(N\left( {{y_o};{x_0}} \right)\). Nói cách khác:

\(\cos \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \sin \alpha ;\;\;\sin \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \cos \alpha .\)