\(A=n\left(2n+7\right)\left(7n+7\right)\)

\(=7n\left(n+1\right)\left(2n+4+3\right)\)

\(=14n\left(n+1\right)2\left(n+2\right)+3.7\left(n+1\right)n\)

Ta có :

\(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6

\(\Leftrightarrow A⋮6\rightarrowđpcm\)

A = n(2n+7) ( 7n+7)

= 7n ( n+1) (2n+4+3)

= 14n (n+1) 2(n+2) + 3.7(n+1)n

Ta có : n(n+1) (n+2) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp

=> n (n+1) (n+2) chia hết cho 6

=> A chia hết cho 6 (đpcm)

\(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Vì n(n+1)(n+2) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho cả 2 và 3 . Mà (2,3) = 1 nên n(n+1)(n+2) chia hết cho 6.

Từ đó có đpcm

\(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮6\)

=>đpcm

\(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)=n^3+3n^2+2n=n\left(n^2+3n+2\right)=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Có: \(n;n+1;n+2\) là ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho cả 2 và 6.

Mà: \(\text{Ư}CLN\left(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\right)=1\) nên \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮2.3=6\) (đpcm)

Bài 1:

$5a+8b\vdots 3$

$\Leftrightarrow 5a+8b-3(2b+2a)\vdots 3$

$\Leftrightarrow 5a+8b-6b-6a\vdots 3$

$\Leftrightarrow 2b-a\vdots 3$

 Ta có đpcm. 

Bài 2. Bổ sung thêm điều kiện $n$ là số tự nhiên.

Ta có: $A=n(2n+7)(7n+7)=7n(2n+7)(n+1)$

Vì $n,n+1$ là 2 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ tồn tại 1 số chẵn và 1 số lẻ

$\Rightarrow n(n+1)\vdots 2$

$\Rightarrow A=7n(n+1)(2n+7)\vdots 2(1)$

Mặt khác:

Nếu $n\vdots 3$ thì $A=7n(n+1)(2n+7)\vdots 3$

Nếu $n$ chia $3$ dư $1$ thì $2n+7$ chia hết cho $3$ 

$\Rightarrow A\vdots 3$

Nếu $n$ chia $3$ dư $2$ thì $n+1$ chia hết cho $3$

$\Rightarrow A\vdots 3$

Tóm lại $A\vdots 3(2)$

Từ $(1);(2)$ mà $(2,3)=1$ nên $A\vdots (2.3)$ hay $A\vdots 6$

a: Ta có: \(3n+2⋮n-1\)

\(\Leftrightarrow n-1\in\left\{1;-1;5;-5\right\}\)

hay \(n\in\left\{2;0;6;-4\right\}\)

Nhan xet \(n^2\equiv0,1,2,4\left(mod7\right)\forall n\inℕ\) , \(7n⋮7\) va \(2020\equiv4\left(mod7\right)\)

nen suy ra \(n^2+7n+20204\equiv4,5,6,1\left(mod7\right)\)

Vay \(^{n^2+7n+2020̸}\) khong chia het cho 7

lm thế khó hỉu lém ak mod là j ak e chx hok

Thực hiện phép chia, ta được:Thương của A chia cho B là n3 – 6n2 + 11n – 6Ta có: 3 2 3 226 11 6 12 6 6( 1) .( 1) 6.(2 1)n n n n n n nn n n n n− + − = − + − −= − + + − −Vì (n-1).n.(n+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên tích đó vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 3 suy ra tích đó chia hết cho 6Mặt khác 6(2n-n2-1) chia hết cho 6=> Th¬ng cña phÐp chia A cho B lµ béi sè cña 6

 

\(A_n=n\left(n^2+1\right)\left(n^2+4\right)\)

\(=\left(n^3+n\right)\left(n^2+4\right)\)

\(=n^5+4n+5n^3\)

\(=n^5-n+5n+5n^3\)

Vì \(n^5\) co dạng \(n^{4k+1}\) (k thuộc N) nên \(n^5\) luôn có chữ số tận cùng giống n

\(\Rightarrow n^5-n=\overline{.....0}⋮5\)

Do đó \(n^5-n+5n+5n^3⋮5\) hay \(A_n⋮5\) (đpcm)