Question

Cmr \(n^2(n+1)+2n(n+1) \) chia hết cho 6 \(\forall n\in Z\)

Answer 1

\(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Vì n(n+1)(n+2) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho cả 2 và 3 . Mà (2,3) = 1 nên n(n+1)(n+2) chia hết cho 6.

Từ đó có đpcm

Answer 2

\(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮6\)

=>đpcm

Answer 3

\(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)=n^3+3n^2+2n=n\left(n^2+3n+2\right)=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Có: \(n;n+1;n+2\) là ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho cả 2 và 6.

Mà: \(\text{Ư}CLN\left(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\right)=1\) nên \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮2.3=6\) (đpcm)

Answer 4

n^2(n+1)+2n(n+1)

=(n+1)(n^2+2n)

=(n+1).n.(n+2)

Vì (n+1).n.(n+2) là ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6

Suy ra n^2(n+1)+2n(n+1) luôn luôn chia hết cho 6 với mọi n thuộc Z