1)

a)2⁵¹-1

=(2³)¹⁷-1\(⋮\)2³-1=7

Vậy 2⁵¹-1\(⋮\)7

b)2⁷⁰+3⁷⁰

=(2²)³⁵+(3²)³⁵\(⋮\)2²+3²=13

Vậy 2⁷⁰+3⁷⁰\(⋮\)13

c)17¹⁹+19¹⁷

=(BS18-1)¹⁹+(BS18+1)¹⁷

=BS18-1+BS18+1

=BS18\(⋮\)18

d)36⁶³-1\(⋮\)35\(⋮\)7

Vậy 36⁶³-1\(⋮\)7

36⁶³-1

=36⁶³+1-2

=BS37-2\(⋮̸\)37

Vậy 36⁶³-1\(⋮̸\)37

e)2⁴ⁿ-1

=(2⁴)ⁿ-1\(⋮\)2⁴-1=15

Vậy 2⁴ⁿ-1\(⋮\)15

Ta có:

\(A=n^5-n=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)

Do \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\) là tích của 3 số nguyên liên tiếp (n\(\in Z\))

nên \(A⋮2.3=6\) (1)Do (2,3)=1

Ta cũng có:

\(A=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4+5\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Do \(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮5\)

\(\Rightarrow A⋮5\) (2)

Từ (1); (2) \(\Rightarrow A⋮6.5=30\) Do (6,5)=1

\(A=n^5-n=n\left(n^4-1\right)\)

\(=n\left(n^2+1\right)\left(n^2-1\right)\)

\(=n\left(n^2+1\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

\(=n\left(n^2+5-4\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮6\)(tích 3 số liên tiếp)

\(=n\left(n^2-4\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

\(=n\left(n-2\right)\left(n+2\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮5\left(đpcm\right)\)(tích 5 số liên tiếp và 1 tích có thừa số 5)

\(\Rightarrow A⋮30\)

\(A=n^5-n=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)

Ta có :

\(n\left(n^2-1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮6\Rightarrow A⋮6\)

Nếu \(n⋮5\Rightarrow A⋮5\)

Nếu \(n⋮̸5\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n^2=5k+1\\n^2=5k-1\end{matrix}\right.\)

Nếu \(n^2=5k+1\Rightarrow n^2-1=5k⋮5\Rightarrow A⋮5\)

Nếu \(n^2=5k-1\Rightarrow n^2+1=5k⋮5\Rightarrow A⋮5\)

(6;5)=1 \(\Rightarrow A⋮30\)

Ta có: n⁵ – n = n.(n⁴ – 1) = n.(n⁴ – n² + n² – 1)

= n.[(n⁴ – n²) + (n² – 1)]

= n.[n²(n² – 1) + (n² – 1)]

= n.(n² – 1).(n² + 1)

= n.(n² – n + n – 1)(n² + 1)

= n.[(n² – n) + (n – 1)].(n² + 1)

= n.[n(n- 1) + (n – 1)].(n² + 1)

= n.(n – 1).(n + 1).(n² + 1)

Vì (n – 1); n; (n + 1) là ba số tự nhiên liên tiếp nên n⁵ – n chia hết cho 3 (1)

Mặt khác: n⁵ = n⁴⁺¹ có chữ số tận cùng giống chữ số tận cùng của n

=> n⁵ – n có chữ số tận cùng bằng 0.

=> n⁵ – n chia hết cho 10 (2)

Từ (1), (2) suy ra: n⁵ – n chia hết cho 3 và 10, (3, 10) = 1 nên suy ra: n⁵ – n chia hết cho 30 (đpcm).

Ta có: n⁵ – n = n.(n⁴ – 1) = n.(n⁴ – n² + n² – 1)

= n.[(n⁴ – n²) + (n² – 1)]

= n.[n²(n² – 1) + (n² – 1)]

= n.(n² – 1).(n² + 1)

= n.(n² – n + n – 1)(n² + 1)

= n.[(n² – n) + (n – 1)].(n² + 1)

= n.[n(n- 1) + (n – 1)].(n² + 1)

= n.(n – 1).(n + 1).(n² + 1)

Vì (n – 1); n; (n + 1) là ba số tự nhiên liên tiếp nên n⁵ – n chia hết cho 3 (1)

Mặt khác: n⁵ = n⁴⁺¹ có chữ số tận cùng giống chữ số tận cùng của n

=> n⁵ – n có chữ số tận cùng bằng 0.

=> n⁵ – n chia hết cho 10 (2)

Từ (1), (2) suy ra: n⁵ – n chia hết cho 3 và 10, (3, 10) = 1 nên suy ra: n⁵ – n chia hết cho 30 (đpcm).

Áp dụng hằng đẳng thức có dạng a²-b²=(a-b)(a+b) vào bài này ta có 

n⁵-n=n.(n⁴-1)=n(n²-1)(n²+1)

= n(n-1)(n+1)(n²+1)

= n(n-1)(n+1)(n²-4+5)

= n(n-1)(n+1)(n²-4)+5n(n-1)(n+1)

=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5n(n-1)(n+1)

Nhận thấy n-2;n-1;n;n+1;n+2 là 5 số nguyên liên tiếp nên (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) chia hết cho 2,3,5

Mà(2;3;5)=1 =>  (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) chia hết cho 30 (1)

Lại có n-1;n;n+1 là 3 số nguyên liên tiếp nên n(n-1)(n+1) chia hết cho 2;3

Mà (2;3)=1 => n(n-1)(n+1) chia hết cho 6

Và (5;6)=1 => 5n(n-1)(n+1) chia hết cho 30(2)

Từ (1) và (2) => n⁵-n chia hết cho 30 với mọi x thuộc Z

Sai đề r nếu a=2 và n=1 thì aⁿ⁺⁵-aⁿ⁺⁴=2⁶-2⁵=32 ko chia hết cho 30

ta có 

A=n^5-n
=n(n^4-1)
=n(n-1)(n+1)(n^2+1)
n(n-1)(n+1) chia hết cho 6(1)
nếu n=5k => A chia hết cho 5.6=30
nếu n=5k+1 =>n -1 chia hết cho 5 =>từ 1=> A chia hết cho 30
Nếu n=5k+2 =>t n^2+1=25k^2+20k+5 chia hết cho 5
từ 1=> A chia hết cho 30
nếu n=5k+3 =>^2+1=25k^2+30k+10 chia hết cho 5
=>A chia hết cho 30
Nếu n=5k+4 =>n+1=5k+5 chia hết cho 5
từ 1=>A chia hết cho 30
Vậy với n nguyên dương thì n^5-n chia hết cho 30

a)\(n\left(2n-3\right)-2n\left(n+1\right)=n\left(2n-3\right)-n\left(2n+2\right)=n\left(2n-3-2n-2\right)\)

\(=n\left(-5\right)=-5n\) chia hết cho 5 với n thuộc Z

b)\(\left(n-1\right)\left(n+4\right)-\left(n-4\right)\left(n+1\right)=\left(n^2+3n-4\right)-\left(n^2-3n-4\right)\)

\(=n^2+3n-4-n^2+3n+4=6n\) chia hết cho 6 với n thuộc Z