Question

Chứng minh aⁿ⁺⁵-aⁿ⁺¹ chia hết cho 30 (a thuộc z n thuộc N)

Answer 1

 aⁿ⁺⁵-aⁿ⁺¹ = aⁿ.a⁵-aⁿ.a = aⁿ.a(a⁴-1) =  aⁿ.a.(a² - 1).(a² + 1)= aⁿ.a.(a-1)(a+1).(a² + 1) 

Do a.(a-1)(a+1) chia hết cho 2;3 => aⁿ.a.(a-1)(a+1).(a² + 1) chia hết cho 6 =>  aⁿ⁺⁵-aⁿ⁺¹ chia hết cho 6 (1)

aⁿ⁺⁵-aⁿ⁺¹ = aⁿ(a⁵-a) = aⁿ(a^5-1)

=> Do (a^5-1) chia hết cho 5 ( định lí fermat nhỏ) => aⁿ(a^5-1) chia hết cho 5 =>  aⁿ⁺⁵-aⁿ⁺¹ chia hết cho 5

Từ (1) và (2) => aⁿ⁺⁵-aⁿ⁺¹ là B(5;6) 

Mà BCNN(5;6) = 30 => (aⁿ⁺⁵-aⁿ⁺¹ ) chia hết cho 30