a: AM+MB=AB

BN+NC=BC

CP+PD=CD

DQ+QA=DA

mà AB=BC=CD=DA và AM=BN=CP=DQ

nên MB=NC=PD=QA

Xét ΔMAQ vuông tại A và ΔPCN vuông tại C có

MA=PC

AQ=CN

Do đó: ΔMAQ=ΔPCN

=>MQ=PN

Xét ΔNBM vuông tại B và ΔQDP vuông tại D có

NB=QD

BM=DP

Do đó: ΔNBM=ΔQDP

=>NM=QP

Xét ΔMAQ vuông tại M và ΔNBM vuông tại B có

MA=NB

AQ=BM

Do đó: ΔMAQ=ΔNBM

=>\(\widehat{AMQ}=\widehat{BNM}\)

=>\(\widehat{AMQ}+\widehat{BMN}=90^0\)

\(\widehat{AMQ}+\widehat{QMN}+\widehat{NMB}=180^0\)

=>\(\widehat{QMN}+90^0=180^0\)

=>\(\widehat{QMN}=90^0\)

Xét tứ giác MNPQ có

MN=PQ

MQ=NP

Do đó: MNPQ là hình bình hành

mà \(\widehat{QMN}=90^0\)

nên MNPQ là hình chữ nhật

=>M,N,P,Q cùng thuộc 1 đường tròn

b: Xét ΔABQ vuông tại A có

\(tanABQ=\dfrac{AQ}{AB}\)

=>\(\dfrac{AQ}{a}=tan30=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

=>\(AQ=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)

ΔAQB vuông tại A

=>\(BQ^2=AB^2+AQ^2\)

=>\(BQ^2=a^2+\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2=\dfrac{4}{3}a^2\)

=>\(BQ=\dfrac{2a}{\sqrt{3}}\)

a) Chứng minh được MBPD và BNDQ đều là hình bình hành Þ ĐPCM.

b) Áp dụng định lý Talet đảo cho DABD và DBAC tacos MQ//BD và MN//AC.

Mà ABCD là hình thoi nên AC ^ BD Þ MQ ^ MN

MNPQ là hình chữ nhật vì có các góc ở đỉnh là góc vuông

@ Trần Ngọc Huyền @  Em lần sau nhớ chia bài ra đăng nhiều lần nhé! . 

Đồng ý với cô Nguyễn Thị Linh Chi

Đăng nhiều thế mới nhìn đã choáng

S_AMQ = \(\dfrac{2}{3}\)S_ABQ (vì hai tam giác có chung đường cao hạ từ đỉnh Q xuống đáy AB và AM = \(\dfrac{2}{3}\)AB)

S_ABQ  = \(\dfrac{1}{2}\)S_ABD ( vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh B xuống đáy AD và AQ = \(\dfrac{1}{2}\)AD)

S_ABD = \(\dfrac{1}{2}\)S_ABCD ( vì ABCD là hình chữ nhật)

⇒ S_AMQ = \(\dfrac{2}{3}\) \(\times\) \(\dfrac{1}{2}\) \(\times\dfrac{1}{2}\) = \(\dfrac{1}{6}\) S_ABCD  = 96 \(\times\) \(\dfrac{1}{6}\) = 16 (cm²)

S_DPQ = S_CPN = \(\dfrac{1}{2}\)S_CDN  = (vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh N xuống đáy CD và CP = \(\dfrac{1}{2}\)CD)

S_CDN = \(\dfrac{1}{2}\)S_BCD ( Vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh D xuống đáy BC và CN = \(\dfrac{1}{2}\) CB)

S_BCD = \(\dfrac{1}{2}\)S_ABCD (vì ABCD là hình chữ nhật) 

⇒ S_DPQ = S_CPN = \(\dfrac{1}{2}\)\(\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}\)S_ABCD  = 96 \(\times\)\(\dfrac{1}{8}\) = 12 (cm²)

BM = AB - AM = AB - \(\dfrac{2}{3}\)AB = \(\dfrac{1}{3}\)AB

S_BMN = \(\dfrac{1}{3}\)S_ABN (Vì hai tam giác có chung đường cao hạ từ đỉnh N xuống đáy AB và BM = \(\dfrac{1}{3}\) AB)

S_ABN = \(\dfrac{1}{2}\)S_ABC (Vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh A xuống đáy BC và BN = \(\dfrac{1}{2}\)BC)

S_ABC = \(\dfrac{1}{2}\) S_ABCD ( vì ABCD là hình chữ nhật)

⇒S_BMN = \(\dfrac{1}{3}\)\(\times\)\(\dfrac{1}{2}\)\(\times\)\(\dfrac{1}{2}\)S_ABCD = 96 \(\times\) \(\dfrac{1}{12}\) = 8 (cm²)

S_MNPQ  = S_ABCD - (S_AMQ + S_DPQ + S_CPN + S_BMN)  

S_MNPQ = 96 - (16 + 12 + 12 + 8) = 48 (cm²)

Đáp số: 48 cm²

Kẽ NI // BC

\(\Rightarrow\frac{DN}{DC}=\frac{AI}{AB}=\frac{AM}{AH}\)

\(\Rightarrow\)MI // BH

\(\Rightarrow\widehat{IMB}=\widehat{MBH}\left(1\right)\)

Tứ giác IBCN có

\(\widehat{IBC}=\widehat{BIN}=\widehat{BCN}\)

\(\Rightarrow\)Tứ giác IBCN là hình chữ nhật

\(\Rightarrow\widehat{NBC}=\widehat{BCI}\left(2\right)\)

Xét tứ giác IMCB có

\(\widehat{IMC}=90\)(vì IM // BH và BH vuông góc AC)\

\(\widehat{IBC}=90\)

\(\Rightarrow\)Tứ giác IMCB là tứ giác nội tiếp đường tròn

\(\Rightarrow\widehat{IMB}=\widehat{ICB}\left(3\right)\)(cùng chắn cung IB) 

Từ (1),(2),(3) \(\Rightarrow\widehat{MBH}=\widehat{NBC}\)

\(\Rightarrow\widehat{BMC}=90-\widehat{MBH}=90-\widehat{NBC}=\widehat{CNB}\)

\(\Rightarrow\)Tứ giác MBCN nội tiếp đường tròn 

Hay M,B,C,N cùng nằm trên một đường tròn

giải thích kĩ hơn đi boy :))

Đáp án B