Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác trong của góc A cắt đường tròn (O) tại điểm M.

a) Đường phân giác ngoài của góc A cắt lại đường tròn (O) tại N. CM M, O, N thẳng hàng.

b) Giả sử đường phân giác góc ngoài cắt đường thẳng BC tại E . CM góc AMO = góc CEA

c) Trên cạnh AC lấy điểm D tùy ý ( khác A và C). Đường thẳng BD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F. Đường thẳng qua A  vuông góc với AB và đường thẳng qua F vuông góc với FC cắt nhau tại P. Chứng tỏ rằng P, D, O thẳng hàng.

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC), phân giác BD (D thuộc AC). Gọi M là trung điểm của BC.

Đường thẳng MD cắt đường thẳng BA tại N. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt NM, NC thứ tự tại P và Q

a) CMR: PA=PQ

b) Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt tia CA tại E. CMR: DA.EB=DC.EA

c) CM: Hai tam giác EBD và NBD có diện tích bằng nhau

Cho ΔABC cân tại A. Đường thẳng vuông góc với AB tại B cắt đường thẳng vuông góc với AC tại C ở D; M là trung điểm BC.

a) Chứng minh: AD là phân giác của và A, M, D thẳng hàng.    

b) Qua B kẻ đường thẳng vuông góc AC cắt AC tại K, cắt AD tại I.    Chứng minh: BC là đường trung trực của ID.

Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi H là một điểm bất kỳ trên đoạn OA (H khác hai điểm O, A). Dựng đường thẳng d vuông góc với OA tại H. Trên d lấy điểm C ở ngoài đường tròn (O). Kẻ các tiếp tuyến CM, CN với đường tròn (O); M và N là tiếp điểm, M cùng phía với A bờ CH. Các đường thẳng CM, CN cắt đường thẳng AB tại P và Q. Đường thẳng qua O và vuông góc với AB cắt MN tại K. CK cắt AB tại I. Chứng minh rằng: 1) HC là tia phân giác của góc MHN 2) I là trung điểm của đoạn thẳng PQ 3) Ba đường thẳng PN, QM và CH đồng quy.

Cho góc xOy khác góc bẹt Oz là tia phân giác của góc xOy. Gọi M là một điểm bất kì thuộc tia Oz. Qua M vẽ đường thẳng a vuông góc với Ox tại A, cắt Oy tại C và vẽ đường thẳng b vuông góc với Oy tại B, cắt Ox tại D. Chứng minh:

a) Điểm O thuộc đường trung trực của AB;

b) OM là đường trung trực của AB; Điểm M thuộc đường trung trực của CD.