Cho tam giác ABC và M là trung điểm của đoạn thẳng BC.
a) Giả sử AM vuông góc với BC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.
b) Giả sử AM là tia phân giác của góc BAC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.
Cho tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh AM vuông góc với BC và AM là tia phân giác của góc BAC.
Xét 2 tam giác AMB và AMC có:
AM chung
AB=AC (do tam giác ABC cân tại A)
MB=MC (gt)
\(\Rightarrow\) \(\Delta AMB=\Delta AMC\) (c.c.c)
\(\Rightarrow\) \(\widehat {BAM} = \widehat {CAM}\)(2 góc tương ứng).
Mà tia AM nằm trong góc BAC
\(\Rightarrow\) AM là phân giác của góc BAC
Mặt khác: Do \(\Delta AMB=\Delta AMC\) nên \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC}\)(2 góc tương ứng) mà \(\widehat {AMB} + \widehat {AMC} = {180^o}\)( 2 góc kề bù)
Nên: \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC} = {90^o}\).
Vậy AM vuông góc với BC.
Cho tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm của cạnh BC. a) Chứng minh AM vuông góc với BC b) Giả sử góc BAC = 40 độ . Tính góc B và góc C của tam giác ABC. c) Vẽ đường trung tuyến BN của tam giác ABC, trên tia BN lấy điểm D sao cho NB=ND. Chứng minh AB // CD và chứng minh tam giác ACD cân d) Gọi K là giao điểm của AM và BN. Chứng minh BK = 1/3 BD
a) Để chứng minh AM vuông góc với BC, ta sử dụng tính chất của tam giác cân. Vì tam giác ABC cân tại A, nên ta có MA = MC. Vì M là trung điểm của BC, nên ta có MB = MC. Từ đó, ta có MA = MB. Giả sử ta kẻ đường thẳng AM. Vì MA = MB, nên đường thẳng AM là đường trung tuyến của tam giác ABC. Theo tính chất của đường trung tuyến, ta có AM song song và bằng một nửa đoạn thẳng BC. Do đó, AM vuông góc với BC. b) Vì tam giác ABC cân tại A, nên ta có góc BAC = góc BCA. Vì góc BAC = 40 độ, nên góc BCA = 40 độ. Vì tam giác ABC cân tại A, nên tổng hai góc B và góc C là 180 độ - góc BAC = 180 độ - 40 độ = 140 độ. Vì tam giác ABC là tam giác cân, nên góc B = góc C = (180 độ - 140 độ)/2 = 20 độ. Vậy góc B của tam giác ABC là 20 độ và góc C cũng là 20 độ. c) Để chứng minh AB // CD, ta sử dụng tính chất của đường trung tuyến. Vì N là trung điểm của đoạn thẳng BC, nên BN song song và bằng một nửa đoạn thẳng AC. Từ đó, ta có: BN = 1/2 AC. Giả sử ta kẻ đường thẳng CD. Vì NB = ND, nên ta có: 1/2 AC = NB = ND. Do đó, ta có AB // CD. Để chứng minh tam giác ACD cân, ta sử dụng tính chất của đường trung tuyến. Vì D là điểm trên đường trung tuyến BN, nên ta có: ND = 1/2 NB. Từ đó, ta có: ND = 1/2 NB = 1/2 AC. Vì NB = ND và AD là đoạn thẳng chứa đường trung tuyến BN, nên ta có: AD song song và bằng một nửa đoạn thẳng AC. Do đó, tam giác ACD cân. d) Để chứng minh BK = 1/3 BD, ta sử dụng tính chất của điểm giao nhau của hai đường trung tuyến. Vì K là giao điểm của AM và BN, nên ta có: AK = 2/3 AM và BK = 2/3 BN. Vì MA = MB (vì tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của BC), nên AM là đường trung tuyến của tam giác ABC. Từ đó, ta có: AM = 1/2 BC. Vì NB = ND (vì trên tia BN ta lấy điểm D sao cho NB = ND), nên BN cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC. Từ đó, ta có: BN = 1/2 AC. Do đó, ta có: AM = 1/2 BC = 1/2 AC. Vì BN = 1/2 AC, nên ta có: BK = 2/3 BN = 2/3 * 1/2 AC = 1/3 AC. Vì AC = BD (vì tam giác ACD cân và D là điểm trên đường trung tuyến BN), nên ta có: BK = 1/3 BD. Vậy ta đã chứng minh BK = 1/3 BD.
a: ΔABC cân tại A có AM là đường trung tuyến
nên AM vuông góc BC
b: ΔABC cân tại A
=>\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\dfrac{180^0-40^0}{2}=70^0\)
c: Xét tứ giác ABCD có
N là trung điểm chung của AC và BD
=>ABCD là hình bình hành
=>AB//CD và AB=CD
=>CD=CA
=>ΔCAD cân tại C
Cho tam giác ABC cân tại A, (góc A <900), gọi M là trung điểm của BC.
a) Chứng minh tam giác AMB = tam giác AMC và AM là tia phân giác của góc A.
b) Kẻ BH vuông góc AC (H thuộc AC), CK vuông góc AB (K thuộc AB). Chứng minh tam giác CHB = tam giác BKC.
c) Gọi I là giao điểm của BH và CK. Chứng minh A, I, M thẳng hàng.
a) Xét ΔAMB và ΔAMC có
AM chung
BM=CM(M là trung điểm của BC)
AB=AC(ΔABC cân tại A)
Do đó: ΔABM=ΔACM(c-c-c)
a) Ta có: ΔAMB=ΔAMC(cmt)
nên \(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\)(hai góc tương ứng)
mà tia AM nằm giữa hai tia AB và AC
nên AM là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)(đpcm)
b) Xét ΔCHB vuông tại H và ΔBKC vuông tại K có
BC chung
\(\widehat{HCB}=\widehat{KBC}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)
Do đó: ΔCHB=ΔBKC(cạnh huyền-góc nhọn)
Cho tam giác ABC có AB =AC, M là trung điểm của BC a) Chứng minh AM là tia phân giác của góc BAC b) AM vuông góc với BC c) Từ C kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AM tại D. Chứng minh tam giác ADC cân
Cho tam giác ABC có M là trung điểm của đoạn BC. Giả sử rằng góc BAM bằng góc CAM . Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A
Cho tam giác ABC cân tại B. Kẻ AM vuông BC( M thuộc BC) và CN vuông BA( N thuộc BA)
a) Chứng minh rằng tam giác BAM bằng tam giác BCN
b)Gọi O là giao điểm của AM và CN. Chứng minh rằng: tam giác NOA bằng tam giác MOC
c) Chứng minh rằng BO là tia phân giác của góc ABC
d) Lấy điểm H sao cho AC là trung trực của đoạn thẳng OH. Tìm điều kiện của tam giác ABC để tam giác tam giác OCH đều
cho tam giác EBC cân tại E.Lấy điểm i là trung điểm của đoạn thẳng BC.
a)Chứng minh : EI là tia phân giác của BÊC.và EI vuông góc BC
b)Giả sử BE=13cm, BC=10cm. Tính độ dài đoạn EI
c)Vẽ BH vuông góc EC tại H, CK vuông góc EB tại K. Chứng minh : tam giác EHK cân
d)TRên tia đối của tia EB lấy điểm D sao cho EB=ED.Chứng minh :EI song song DC
Bài 1 : Cho tAm giác cân ABC có <BAC=120 độ. Vẽ đường cao AM ( M thuộc BC )
a) Chứng mình rằng : CM=MB và AM là tia phân giác của <BAC
b) Kẻ MD vuông góc với AB ( D thuộc AB), kẻ ME vuông góc với AC ( E thuộc AC). Chứng minh tam giác ADE cân và DE // BC.
c) Chứng minh rằng tam giác MDE đều
d) Đường vuông góc với BC kẻ từ C cắt tia BA tại F. Tính độ dài cạnh AF biết CF = 6 cm
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại B, kẻ AI là tia phân giác của góc BAC, IH vuông góc với AC tại H.
a. Chứng minh tam giác ABI = tam giác AHI
b. HI cắt AB tại K. Chứng tỏ rằng BK=HC
c. Chứng minh rằng BH // KC
d. Qua C kẻ đường thẳng song song với HK, cắt AI tại O. Tìm điều kiện của tam giác ABC để tam giác CIO đều
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC)
a. Chứng minh : tam giác AHB= tam giác AHC
b. Gỉa sử AB = AC = 5cm, BC = 8cm. Tính độ dài AH
c. Trân tia đối của tai HA lấy điểm M sao cho HM - HA. chứng minh tam giác ABM cân
d. Chứng minh BM // AC
Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm BC.
a) Chứng minh rằng AM là tia phân giác của góc A.
b) Kẻ ME vuông góc AB và MF vuông góc AC. Chứng minh AE = AF.
a) Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ACM\) có:
AB = AC (gt)
AM chung
BM = MC (M là trung điểm BC)
\(\Rightarrow\Delta ABM=\Delta ACM\left(c-c-c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\) (hai góc tương ứng)
\(\Rightarrow AM\) là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)
b) Xét hai tam giác vuông \(\Delta AME\) và \(\Delta AMF\) có:
\(\widehat{AEM}=\widehat{AFM}=90^0\)
AM chung
\(\widehat{MAE}=\widehat{MAF}\) (do AM là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\))
\(\Rightarrow\Delta AME=\Delta AMF\) (cạnh huyền - góc nhọn)
\(\Rightarrow AE=AF\) (hai cạnh tương ứng)