a: \(u_{n+1}-u_n\)

\(=2-3\left(n+1\right)-2+3n\)

=-3n-3+3n

=-3<0

=>Đây là dãy giảm

b: \(u_{n+1}-u_n\)

\(=\dfrac{n+2}{n+1}-\dfrac{n+1}{n}\)

\(=\dfrac{n^2+2n-n^2-2n-1}{n\left(n+1\right)}=\dfrac{-1}{n\left(n+1\right)}< 0\)

=>Đây là dãy giảm

c: \(u_{n+1}-u_n==\dfrac{1}{n+2}-\dfrac{1}{n+1}\)

\(=\dfrac{n+1-n-2}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\dfrac{-1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}< 0\)

=>Đây là dãy giảm

d: \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{2^{n+1}}{2^n}=2>1\)

=>Đây là dãy tăng

a) Dãy số un = 2n - 1: Đây là một dãy số tăng với hệ số tăng là 2.

b) Dãy số un = 3 - 2n: Đây là một dãy số giảm với hệ số giảm là 2.

c) Dãy số un = n + 2n: Đây là một dãy số tăng với hệ số tăng là 3.

d) Dãy số un = 2n: Đây là một dãy số tăng với hệ số tăng là 2.

e) Dãy số un = 3n: Đây là một dãy số tăng với hệ số tăng là 3.

a: \(u_{n+1}-u_n=2\left(n+1\right)-1-2n+1\)

\(=2n+2-2n=2>0\)

=>Đây là dãy tăng

b: \(u_{n+1}-u_n=-2\left(n+1\right)+3+2n-3=-2n-2+2n=-2< 0\)

=>Đây là dãy giảm

d: \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{2}{n+1}-\dfrac{2}{n}=\dfrac{2n-2n-2}{n\left(n+1\right)}=-\dfrac{2}{n\left(n+1\right)}< 0\)

=>Đây là dãy giảm

e: \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{3^{n+1}}{3^n}=3>1\)

=>Đây là dãy tăng

Lời giải:

Với $n$ lẻ bất kỳ:
$u_n<0; u_{n+1>0; u_{n+2}< 0$

$\Rightarrow u_n< u_{n+1}> u_{n+2}$ với mọi $n$ lẻ bất kỳ

Do đó dãy không tăng cũng không giảm.

Lời giải:

Thấy rằng $u_n>0$ với mọi $n\in\mathbb{N}^*$
\(\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\sqrt{n+12}}{n+1}: \frac{\sqrt{n+11}}{n}=\frac{\sqrt{n^2(n+12)}}{\sqrt{(n+1)^2(n+11)}}=\sqrt{\frac{n^3+12n^2}{n^3+13n^2+23n+11}}<1\) với mọi $n\in\mathbb{N}^*$

$\Rightarrow u_{n+1}< u_n$ với mọi $n\in\mathbb{N}^*$ 

$\Rightarrow (u_n)$ là dãy giảm.

Ta sẽ chứng minh \(\left(u_n\right)\) giảm, tức \(u_{n+1}< u_n\) (*) bằng phương pháp quy nạp.

Với n = 1: \(u_2-u_1=\dfrac{u_1^2+1}{4}-u_1=\dfrac{2^2+1}{4}-2=\dfrac{-3}{4}< 0\)

Giả sử (*) đúng với n = k (\(k\in N;k>1\)), tức \(u_{k+1}< u_k\)

Ta sẽ chứng minh (*) đúng với n = k + 1, tức \(u_{k+2}< u_{k+1}\)

\(u_{k+2}=\dfrac{\left(u_{k+1}\right)^2+1}{4}< \dfrac{u_k^2+1}{4}=u_{k+1}\)

Theo nguyên lí quy nạp, ta được đpcm.

Vậy \(\left(u_n\right)\) giảm.