Bài 1:

$B=1+3+3^2+3^3+...+3^{100}$

$=1+(3+3^2)+(3^3+3^4)+...+(3^{99}+3^{100})$

$=1+3(1+3)+3^3(1+3)+...+3^{99}(1+3)$

$=1+(1+3)(3+3^3+...+3^{99})=1+4(3+3^3+....+3^{99})$

$\Rightarrow B$ chia 4 dư 1.

Bài 2:

$C=5-5^2+5^3-5^4+...+5^{2023}-5^{2024}$

$5C=5^2-5^3+5^4-5^5+...+5^{2024}-5^{2025}$

$\Rightarrow C+5C=5-5^{2025}$

$6C=5-5^{2025}$

$C=\frac{5-5^{2025}}{6}$

A = 5 + 5² + 5³ + ... + 5²⁰²³

⇒ 5A = 5² + 5³ + 5⁴ + ... + 5²⁰²⁴

⇒ 4A = 5A - A

= (5² + 5³ + 5⁴ + ... + 5²⁰²⁴) - (5 + 5² + 5³ + ... + 5²⁰²³)

= 5²⁰²⁴ - 5

⇒ A = (5²⁰²⁴ - 5)/4

A = 5 + 5² + 5³ + ... + 5²⁰²³

⇒ 5A = 5² + 5³ + 5⁴ + ... + 5²⁰²⁴

⇒ 4A = 5A - A

= (5² + 5³ + 5⁴ + ... + 5²⁰²⁴) - (5 + 5² + 5³ + ... + 5²⁰²³)

= 5²⁰²⁴ - 5

⇒ A = (5²⁰²⁴ - 5)/4

\(a,A=\left(1+5+5^2\right)+\left(5^3+5^4+5^5\right)+...+\left(5^{57}+5^{58}+5^{59}\right)\\ A=\left(1+5+5^2\right)+5^3\left(1+5+5^2\right)+...+5^{57}\left(1+5+5^2\right)\\ A=\left(1+5+5^2\right)\left(1+5^3+...+5^{57}\right)\\ A=31\left(1+5^3+...+5^{57}\right)⋮31\\ b,5A=5+5^2+5^3+...+5^{60}\\ \Rightarrow5A-A=4A=5^{60}-1\\ \Rightarrow A=\dfrac{5^{60}-1}{4}=\dfrac{5^{60}}{4}-\dfrac{1}{4}< \dfrac{5^{60}}{4}=B\)

a. A = 1 + 5 + 5² + 5³ + .... + 5⁵⁹

A = ( 1 + 5 + 5²) + (5³ + 5⁴ + 5⁵) +.....+ (5⁵⁷ + 5⁵⁸ + 5⁵⁹)

A = (1 + 5 + 5²) + 5³(1 + 5 + 5²) + ..... + 5⁵⁷( 1 + 5 + 5²)

A = (1 + 5 + 5²)( 1 + 5³ +......+ 5⁵⁷)

A = 31(1 + 5³+.....+ 5⁵⁷)

Vì có một thừa số 31 nên A ⋮ 31

a: \(A=\left(1+5+5^2\right)+...+5^{57}\left(1+5+5^2\right)\)

\(=31\left(1+...+5^{57}\right)⋮31\)

Lời giải:

a.

$A=1+5+5^2+5^3+...+5^{59}$

$= (1+5+5^2)+(5^3+5^4+5^5)+....+(5^{57}+5^{58}+5^{59})$
$=(1+5+5^2)+5^3(1+5+5^2)+....+5^{57}(1+5+5^2)$

$=31+5^3,31+,,,,,+5^{57}.31$

$=31(1+5^3+...+5^{57})\vdots 31$ (đpcm)

b.

$A=1+5+5^2+...+5^{59}$

$5A=5+5^2+5^3+...+5^{60}$

$\Rightarrow 4A=5A-A=5^{60}-1< 5^{60}$

$\Rightarrow A< \frac{5^{60}}{4}=B$

\(A=\frac{1}{52}+\frac{1}{53}+...+\frac{1}{100}

to giup cau nhe 

Vi tat ca cac phan so tren deu nho hon 1/2 ne tong do se nho hon 1/2

Neu cau cho la dung hay chon cau tra loi cua minh nhe

Ta thầy từ: 1/51 + 1/52 + 1/53 + 1/54 + .....+ 1/98 + 1/99 mỗi số hạng đều lớn hơn 1/100 Mà tổng trên có (100-51)+1= 50 (số hạng)

Nên 1/51 + 1/52 + 1/53 + 1/54 + .....+ 1/98 + 1/99 + 1/100 > 1/100 x 50 = 50/100 = 1/2 Vậy: s > 1/2

LÀM NHƯ VẦY NÈ 

TỪ SỐ ĐẦU DẾN SỐ CUỐI CÓ TẤT CẢ 50 PHÂN SỐ

1/51+ 1/52 + 1/53 + 1/54 + .... + 1/99 + 1/100 - 1/100 * 50 = 50/100

RÚT GỌN PHÂN SỐ TRÊN TA CÓ 1/2 TỔNG TRÊN TRỪ ĐC 1/2 CÓ NGHĨA LÀ NÓ LỚN HƠN 

CHÚC BẠN HỌC TỐT NHA NGUYỄN BẢO LINH

em chịu khó gõ link này lên google

https://olm.vn/hoi-dap/detail/54216861947.html