Tìm a để bpt \(\sqrt{\left(x+5\right)\left(3-x\right)}\le x^2+2x+a\) nghiệm đúng với mọi x thuộc \(\left[-1-\sqrt{15};-1+\sqrt{14}\right]\)
Tìm m để bpt \(\sqrt{\left(x+5\right)\left(3-x\right)}\) \(\le\) x2 + 2x + m có nghiệm đúng ∀x ϵ\([-5,3]\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{-x^2-2x+15}\le x^2+2x+m\)
\(\Leftrightarrow-x^2-2x+15+\sqrt{-x^2-2x+15}-15\le m\)
Đặt \(t=-x^2-2x+15\Rightarrow0\le t\le4\)
\(\Rightarrow t^2+t-15\le m\) với \(t\in\left[0;4\right]\)
\(\Leftrightarrow m\ge\max\limits_{\left[0;4\right]}\left(t^2+t-15\right)\)
Xét \(f\left(t\right)=t^2+t-15\) trên [0;4]
\(-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1}{2}\notin\left[0;4\right]\) ; \(f\left(0\right)=-15\) ; \(f\left(4\right)=5\)
\(\Rightarrow f\left(t\right)\le5\Rightarrow m\ge5\)
Tìm m để bpt : \(\left(x+1\right)\left(x+3\right)\le\sqrt{x^2+4x+5}+m\)
a) Nghiệm đúng với \(\forall x\) thuộc \([-2;-2+\sqrt{3}]\)
cho BPT \(\sqrt[4]{\left(x-1\right)\left(3-x\right)}\le x^2-2x+m-3\) Xác định m để BPT nghiệm với mọi x \(\in\left[-1;3\right]\)
\(4\sqrt{\left(x+1\right)\left(3-x\right)}\le x^2-2x+m-3\)
mình đánh nhầm, giúp vs ạ
Tìm m để bất phương trình \(\sqrt{\left(x+5\right)\left(3-x\right)}\le x^2+2x+m\) đúng với mọi x thuộc [-5; 3]
\(\sqrt{\left(x+2\right)\left(4-x\right)}\le x^2-2x+m\) nghiệm đúng với mọi x thuộc [-2;4]
ĐK: \(-2\le x\le4\)
Đặt \(\sqrt{-x^2+2x+8}=t\left(0\le t\le3\right)\)
\(\sqrt{\left(x+2\right)\left(4-x\right)}\le x^2-2x+m\)
\(\Leftrightarrow-x^2+2x+8+\sqrt{-x^2+2x+8}-8\le m\)
\(\Leftrightarrow m\ge f\left(t\right)=t^2+t-8\)
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(m\ge maxf\left(t\right)=f\left(4\right)=12\)
Kết luận: \(m\ge12\)
cho bpt
\(-4\sqrt{-x^2+2x+15}\ge x^2-2x+13+m\)
tìm m để bpt có nghiệm đúng với mọi \(x\in\left[-3:5\right]\)
đặt t = \(\sqrt{-x^2+2x+15}\) ( đk t >= 0 )
xét hàm f(t) = t^2 - 4t -28
....tự làm ...
Tìm a để bất phương trình \(\sqrt{\left(x+5\right)\left(3-x\right)}\le x^2+2x+a.\)nghiệm đúng với \(\forall x\in\left[-5;3\right]\)
\(\sqrt{-x^2-2x+15}\le x^2+2x+a\)
Đặt \(\sqrt{-x^2-2x+15}=b\). Vì \(x\in[-5;3]\) nên \(b\in[0;4]\)
Bất phương trình trở thành \(b\le-b^2+15+a\Leftrightarrow f\left(b\right)=-b^2-b+a+15\ge0\left(1\right)\)
Ycbt trở thành: Tìm a để BPT (1) nghiệm đúng \(\forall b\in[0;4]\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}f\left(0\right)\ge0\\f\left(4\right)\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+15\ge0\\a-5\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow a\ge5\)
Tìm m để \(\left(x+1\right)^2+\sqrt{2x\left(x+a+1\right)}=a^2+1+\left|x+a\right|\) có đúng 1 nghiệm thuộc [-2;2]
\(\left(x+1\right)^2+\sqrt{2x\left(x+a+1\right)}=a^2+1+\left|x+a\right|\)
\(\Leftrightarrow x^2+2x+\sqrt{2x^2+2xa+2x}=a^2+\left|x+a\right|\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2ax+2x+\sqrt{2x^2+2xa+2x}=x^2+2ax+a^2+\left|x+a\right|\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2x^2+2xa+2x}+\dfrac{1}{2}\right)^2=\left(\left|x+a\right|+\dfrac{1}{2}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2x^2+2xa+2x}=\left|x+a\right|\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2xa+2x=x^2+2xa+a^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+2x=a^2\)
Đồ thị hàm số:
Dựa vào đồ thị, yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(0\le a^2\le8\Leftrightarrow-2\sqrt{2}\le a\le2\sqrt{2}\)
Để bất phương trình \(\sqrt{\left(x+5\right)\left(3-x\right)}\le x^2+2x+a\) nghiệm đúng \(\forall x\in\left[-5;3\right]\) tham số a phải thỏa mãn đk?
ĐK: \(-5\le x\le3\)
\(\sqrt{\left(x+5\right)\left(3-x\right)}\le x^2+2x+a\)
\(\Leftrightarrow a\ge-x^2-2x+15+\sqrt{-x^2-2x+15}-15\left(1\right)\)
Đặt \(\sqrt{-x^2-2x+15}=t\left(0\le t\le4\right)\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow a\ge f\left(t\right)=t^2+t-15\)
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi
\(a\ge maxf\left(t\right)=max\left\{f\left(0\right);f\left(4\right)\right\}=f\left(4\right)=5\)
Vậy \(a\ge5\)