Xét tam giác ABC và tam giác ADB có 

\(\widehat {ABC} = \widehat {A{\rm{D}}B}\) và \(\widehat A\) chung

=> ΔABC ∽ ΔADB (g.g)

=> \(\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AC}}{{AB}}\)

=> \(A{B^2} = A{\rm{D}}.AC\)

- Xét tam giác ABD và tam giác ACE có \(\widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{E}}}\), góc A chung

=> ΔABD ∽ ΔACE (g.g)

- Vì ΔABD ∽ ΔACE 

=> \(\widehat {A{\rm{D}}B} = \widehat {A{\rm{E}}C}\)

=> \(\widehat {C{\rm{D}}O} = \widehat {BEO}\) (1)

- Có \(\widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{E}}}\)

Mà \(\widehat {AB{\rm{D}}} + \widehat {EBO} = {180^o}\)

      \(\widehat {AC{\rm{E}}} + \widehat {DCO} = {180^o}\)

=> \(\widehat {EBO} = \widehat {DCO}\) (2)

Từ (1) và (2) => ΔBOE ∽ ΔCOD (g.g)

a)DC//BE (cùng vuông góc với AC);DB//CE (cùng vuông góc với AB) => là hình bình hành

b) hình bình hình thì 2 đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường hay DE cắt BC tại M và M là trung điểm DE

Để DE đi qua A tức là D;E;A thằng hàng

mà AE là một đường cao hay AE vuông góc BC nên D;E;A thẳng hàng tức là DE vuông góc với BC 

hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc là hình thoi

c) tứ giác ABDC có góc DBA +góc DCA =180 nên góc BAC+ góc BDC=180

Mượn hình của bạn Manh nhé!

a) Ta có: DB // CK ( \(\perp\)AB)

=> DB // CE   (1)

BH // DC ( \(\perp\) AC )

=> DC // BE  (2)

Từ (1) ; (2) => DBEC là hình bình hành.

b) +) Theo câu a) DBEC là hình bình hành 

=> Hai đường chéo BC và DE cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà M là trung điểm BC => M là trung điểm DE.

+) CK; BH là hai đường cao của \(\Delta ABC\)  và CK ; BH cắt nhau tại E.

=> E là trực tâm của \(\Delta ABC\)

=> AE là đường cao hạ từ A. (3)

Theo giả thiết DE qua A  mà DE cắt BC tại M là trung điểm cạnh  BC

=> AE qua trung điểm của cạnh BC

=>  AE là đường trung tuyến  của \(\Delta ABC\) (4)

Từ (3); (4) => \(\Delta ABC\) cân tại A

c) Em tham khảo bài làm bạn Manh.

a)Xét hai tam giác AEC và AED có

\(EC = ED\)

\(\widehat {CEA} = \widehat {DEA}\)

AE chung

\( \Rightarrow \Delta AEC{\rm{  =  }}\Delta AED\)(c.g.c)

b)

Do \(\Delta AEC{\rm{  =  }}\Delta AED\) nên \(\widehat {CAE} = \widehat {DAE}\) ( 2 góc tương ứng) và AC=AD ( 2 cạnh tương ứng).

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta ABD\) có:

AB chung

\(\widehat {CAE} = \widehat {DAE}\)

AC=AD

\( \Rightarrow \Delta ABC = \Delta ABD\)(c.g.c)

Xét \(\Delta ABD\)có: \(\widehat {BAD} + \widehat {ABD} + \widehat {BDA} = {180^0}\)

Xét \(\Delta BCD\)có: \(\widehat {BCD} + \widehat {BDC} + \widehat {DBC} = {180^0}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {BAD} + \widehat {ABD} + \widehat {BDA} = \widehat {BCD} + \widehat {BDC} + \widehat {DBC}\\ \Rightarrow \widehat {DAB} = \widehat {DBC}(do\,\widehat {BAD} = \widehat {BCD};\widehat {ABD} = \widehat {BDC})\end{array}\)

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta CDB\) có:

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}\widehat {ABD} = \widehat {CDB}\\BDchung\\\widehat {DBA} = \widehat {DBC}\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta ABD = \Delta CDB(g.c.g)\\ \Rightarrow AB = DC\\AD = CB\end{array}\)

Suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành vì có cặp cạnh đối bằng nhau