a) \(-7n+3⋮n-1\)

\(\Rightarrow\left(-7n+3\right).1-\left(-7\right).\left(n-1\right)⋮n-1\)

\(\Rightarrow-7n+3+7n-7⋮n-1\)

\(\Rightarrow-4⋮n-1\)

\(\Rightarrow n-1\in\left\{-1;1;-2;2;-4;4\right\}\)

\(\Rightarrow n\in\left\{0;2;-1;3;-3;5\right\}\)

b) \(4n+5⋮4-n\)

\(\Rightarrow\left(4n+5\right).1-\left(-4\right)\left(4-n\right)⋮4-n\)

\(\Rightarrow4n+5-4n+16⋮4-n\)

\(\Rightarrow21⋮4-n\)

\(\Rightarrow4-n\in\left\{-1;1;-3;3;-7;7;-21;21\right\}\)

\(\Rightarrow n\in\left\{5;3;7;1;11;-3;25;-17\right\}\)

c) \(3n+4⋮2n+1\)

\(\Rightarrow\left(3n+4\right).2-3.\left(2n+1\right)⋮2n+1\)

\(\Rightarrow6n+8-6n-3+1⋮2n+1\)

\(\Rightarrow5⋮2n+1\)

\(\Rightarrow2n+1\in\left\{-1;1;-5;5\right\}\)

\(\Rightarrow n\in\left\{-1;0;-3;2\right\}\)

d) \(4n+7⋮3n+1\)

\(\Rightarrow\left(4n+7\right).3-4.\left(3n+1\right)⋮3n+1\)

\(\Rightarrow12n+21-12n-4⋮3n+1\)

\(\Rightarrow17⋮3n+1\)

\(\Rightarrow n\in\left\{-\dfrac{2}{3};0;-6;\dfrac{16}{3}\right\}\Rightarrow n\in\left\{0;-6\right\}\left(n\in Z\right)\)

\(\Rightarrow3n+1\in\left\{-1;1;-17;17\right\}\)

a) Ta có: -7n + 3 chia hết cho n - 1

=> (-7n + 3) % (n - 1) = 0

=> -7n + 3 = k(n - 1), với k là một số nguyên

=> -7n + 3 = kn - k => (k - 7)n = k - 3

=> n = (k - 3)/(k - 7),

với k - 7 khác 0 Vậy n thuộc Z khi và chỉ khi k - 7 khác 0.

b) Ta có: 4n + 5 chia hết cho 4 - n

=> (4n + 5) % (4 - n) = 0

=> 4n + 5 = k(4 - n), với k là một số nguyên

=> 4n + 5 = 4k - kn

=> (4 + k)n = 4k - 5

=> n = (4k - 5)/(4 + k), với 4 + k khác 0

Vậy n thuộc Z khi và chỉ khi 4 + k khác 0.

c) Ta có: 3n + 4 chia hết cho 2n + 1

=> (3n + 4) % (2n + 1) = 0

=> 3n + 4 = k(2n + 1), với k là một số nguyên

=> 3n + 4 = 2kn + k

=> (2k - 3)n = k - 4

=> n = (k - 4)/(2k - 3), với 2k - 3 khác 0

Vậy n thuộc Z khi và chỉ khi 2k - 3 khác 0.

d) Ta có: 4n + 7 chia hết cho 3n + 1

=> (4n + 7) % (3n + 1) = 0

=> 4n + 7 = k(3n + 1), với k là một số nguyên

=> 4n + 7 = 3kn + k

=> (3k - 4)n = k - 7 => n = (k - 7)/(3k - 4), với 3k - 4 khác 0

Vậy n thuộc Z khi và chỉ khi 3k - 4 khác 0.

a) ta có : \(n\left(n+5\right)-\left(n-3\right)\left(n+2\right)=n^2+5n-\left(n^2+2n-3n-6\right)\)

\(=n^2+5n-n^2-2n+3n-6=6n-6=6\left(n-1\right)⋮6\)

\(\Rightarrow n\left(n+5\right)-\left(n-3\right)\left(n+2\right)\) chia hết cho \(6\)

vậy \(n\left(n+5\right)-\left(n-3\right)\left(n+2\right)\) chia hết cho \(6\) (đpcm)

b) ta có : \(\left(n-1\right)\left(n+1\right)-\left(n-7\right)\left(n-5\right)=n^2-1-\left(n^2-5n-7n+35\right)\)

\(=n^2-1-n^2+5n+7n-35=12n-36=12\left(n-3\right)⋮3⋮4\)

\(\Rightarrow\left(n-1\right)\left(n+1\right)-\left(n-7\right)\left(n-5\right)\) chia hết cho \(4\) và \(3\)

vậy \(\left(n-1\right)\left(n+1\right)-\left(n-7\right)\left(n-5\right)\) chia hết cho \(4\) và \(3\) (đpcm)

\(n\left(n+5\right)-\left(n-3\right)\left(n+2\right)\\ =n^2+5n-\left(n^2+2n-3n-6\right)\\ =n^2+5n-\left(n^2-n-6\right)\\ =n^2+5n-n^2+n+6\\ =\left(n^2-n^2\right)+\left(5n+n\right)+6\\ =6n+6\\ =6\left(n+1\right)⋮6\)

vậy ...

\(\left(n-1\right)\left(n+1\right)-\left(n-7\right)\left(n-5\right)\\ =n^2-1-\left[\left(n-6\right)^2-1\right]\\ =n^2-1-\left(n-6\right)^2+1\\ =n^2-\left(n-6\right)^2\\ =\left(n+n-6\right)\left(n-n+6\right)\\ =6\left(2n-6\right)\\ =6\cdot2\left(n-3\right)\\ =12\left(n-3\right)⋮4\text{ và }3\)

vậy ...

a/

\(\dfrac{2n+9}{n+1}=\dfrac{2\left(n+1\right)+7}{n+1}=2+\dfrac{7}{n+1}\)

\(\Rightarrow n+1=\left\{-7;-1;1;7\right\}\Rightarrow n=\left\{-8;-2;0;6\right\}\)

b/

\(\dfrac{3n+5}{n-1}=\dfrac{3\left(n-1\right)+8}{n-1}=3+\dfrac{8}{n-1}\)

\(\Rightarrow n-1=\left\{-8;-4;-2;-1;1;2;4;8\right\}\)

\(\Rightarrow n=\left\{-7;-3;-1;0;2;5;9\right\}\)

a, Ta có : \(\text{n + 5 = (n - 1)+6}\)

Vì \(\text{(n-1) ⋮ n-1}\)

Nên để \(\text{n+5 ⋮ n-1}\)⋮ `n-1`

Thì \(\text{6 ⋮ n-1}\) 

\(\Rightarrow\) \(\text{n - 1 ∈ Ư(6)}\)

\(\Rightarrow\) \(\text{n - 1 ∈}\) \(\left\{\text{±1;±2;±3;±6}\right\}\)

\(\Rightarrow\) \(\text{n ∈}\) \(\left\{\text{0;-1;-2;-5;2;3;4;7}\right\}\) \(\text{( TM )}\)

\(\text{________________________________________________________}\)

b, Ta có : \(\text{2n-4 = (2n+4)- 8 = 2(n+2) - 8}\)

Vì \(\text{2(n+2) ⋮ n+2}\)

Nên để \(\text{2n-4 ⋮ n+2}\)

Thì \(\text{8 ⋮ n+2}\)

\(\Rightarrow\) \(\text{n + 2 ∈ Ư(8)}\)

\(\Rightarrow\) \(\text{n + 2 ∈}\) \(\left\{\text{±1;±2;±4;±8}\right\}\)

\(\Rightarrow\) \(\text{n ∈}\) \(\left\{\text{-3;-4;-6;-10;-1;0;2;6}\right\}\) ( TM )

\(\text{_________________________________________________________________ }\)

c, Ta có :\(\text{ 6n + 4 = (6n + 3) +1 = 3(2n+1) + 1}\)

Vì \(\text{3(2n+1) ⋮ 2n+1}\)

Nên để\(\text{ 6n+4 ⋮ 2n+1}\)

Thì \(\text{1 ⋮ 2n+1}\)

\(\Rightarrow\) \(\text{2n + 1 ∈ Ư(1)}\)

\(\Rightarrow\) \(\text{2n + 1 ∈}\) \(\left\{\text{±1}\right\}\)

\(\Rightarrow\) \(\text{2n ∈}\) \(\left\{\text{-2;0}\right\}\)

\(\Rightarrow\) \(\text{n ∈}\) \(\left\{\text{-1;0}\right\}\) ( TM )

\(\text{_______________________________________}\)

Ta có : \(\text{3 - 2n = -( 2n - 3 ) = -( 2n + 2 ) + 5 = -2( n+1)+5}\)

Vì \(\text{-2(n+1) ⋮ n+1}\)

Nên để \(\text{3-2n ⋮ n+1}\)

Thì\(\text{ 5 ⋮ n + 1}\)

\(\Rightarrow\) \(\text{n + 1 ∈}\) \(\left\{\text{±1;±5}\right\}\)

\(\Rightarrow\) \(\text{n ∈}\) \(\text{-2;-6;0;4}\) ( TM )

a) Ta có :

\(10^n=100.....000\) (\(n\) chữ số \(0\)) có tổng các chữ số là \(1\)

Lại có : \(5^3=125\) có tổng các chữ số là \(8\)

\(\Rightarrow10^n+5^3\) có tổng các chữ số là \(9\)

\(\Rightarrow10^n+5⋮9\rightarrowđpcm\)

~ Chúc bn học tốt ~

b) Số có tận cùng là \(3\) khi nâng lên lũy thừa mũ \(4n\) sẽ có tận cùng là chữ số \(1\)

Do đó : \(43^{43}=43^{4.10+3}=43^{4.10}+43^3=\left(......1\right)\left(...7\right)=\left(...7\right)\)

Số có tận cùng là \(7\) khi nâng lên lũy thừa mũ \(4n\) sẽ có tận cùng là \(1\)

Do đó : \(17^{17}=17^{4.4+1}=17^{4.4}+17^1=\left(...1\right)\left(....7\right)=\left(...7\right)\)

\(\Rightarrow43^{43}-17^{17}=\left(....7\right)-\left(...1\right)=\left(...0\right)\)

\(\Rightarrow43^{43}-17^{17}⋮10\rightarrowđpcm\)

~ Học tốt ~

b) Ta có ƯCLN(43,10) = 1

Theo định lý Euler ta có \(43^{\varphi\left(10\right)}=43^4\equiv1\left(mod10\right)\)

\(43^{43}=43^{4.10+3}=\left(43^4\right)^{10}.43^3\)

\(43^{43}\equiv1^{10}.43^3\left(mod10\right)\)

\(43^{43}\equiv43^3\left(mod10\right)\)

\(43^{43}\equiv7\left(mod10\right)\)

Ta có ƯCLN(17,10) = 1

Theo định lý Euler ta có \(17^{\varphi\left(10\right)}=17^4\equiv1\left(mod10\right)\)

\(17^{17}=17^{4.4+1}=\left(17^4\right)^4.17\)

\(17^{17}\equiv1^4.17\left(mod10\right)\)

\(17^{17}\equiv17\left(mod10\right)\)

\(17^{17}\equiv7\left(mod10\right)\)

\(43^{43}-17^{17}\equiv7-7\left(mod10\right)\\43^{43}-17^{17}\equiv0\left(mod10\right)\)

Vậy 43⁴³ - 17¹⁷ chia hết cho 10