Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có \(O\) là tâm của đáy và có tất cả các cạnh bằng nhau.
a) Tìm góc giữa đường thẳng \(SA\) và \(\left( {ABCD} \right)\).
b) Tim góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,SO,B} \right];\left[ {S,AB,O} \right]\).
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) với \(O\) là tâm của đáy và có tất cả các cạnh đều bằng \(a\). Xác định và tính góc phẳng nhị diện:
a) \(\left[ {S,BC,O} \right]\);
b) \(\left[ {C,SO,B} \right]\).
a) `[S,BC,O]`:
Góc phẳng nhị diện `[S,BC,O`] là góc giữa mặt phẳng `(SBC)` và mặt phẳng `(SBO)`. Vì hình chóp tứ giác đều, nên mặt phẳng `(SBC)` và mặt phẳng `(SBO)` là hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Do đó, góc phẳng nhị diện `[S,BC,O]` là góc vuông.
b) `[C,SO,B]`:
Góc phẳng nhị diện `[C,SO,B]` là góc giữa mặt phẳng `(CSO)` và mặt phẳng `(CSB)`. Vì hình chóp tứ giác đều, nên mặt phẳng `(CSO)` và mặt phẳng `(CSB)` là hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Do đó, góc phẳng nhị diện` [C,SO,B]` là góc vuông.
Cho hình chóp tứ giác đều S . A B C D có cạnh đáy bằng a tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng A B C D bằng 60 0 . Tính cosin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ( S B D ) .
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (ABCD) bằng 60 ° . Tính cosin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (SBD)
A. 41 41
B. 5 5
C. 2 5 5
D. 2 41 41
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SA=a và SA vuông góc với đáy. Tang của góc giữa đường thẳng SO và mặt phẳng (SAB) bằng
A. 2
B. 2 2
C. 5
D. 5 5
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SA = a và SA vuông góc với đáy. Tang của góc giữa đường thẳng SO và mặt phẳng (SAB) bằng
A. 2
B. 2 2
C. 5
D. 5 5
Đáp án D
Phương pháp:
Gọi a’ là hình chiếu vuông góc của a trên mặt phẳng (P).
Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng a và a’.
Cách giải:
Gọi H là trung điểm của AB => OH//AD
ABCD là hình vuông => AD ⊥ AB; OH ⊥ AB
Mà OH ⊥ SA, (vì SA ⊥ (ABCD))
=> OH ⊥ (SAB)
=>SH là hình chiếu vuông góc của SO trên mặt phẳng (SAB)
=> (SO,(SAB)) = (SO,SH) = HSO
Ta có: OH là đường trung bình của tam giác ABD
Tam giác SAH vuông tại A
Tam giác SHO vuông tại H:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SA vuông góc với đáy (ABCD) Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) bằng α với Tính góc giữa đường thẳng SO và mặt phẳng (ABCD)
A. 60 o
B. 69 , 3 o
C. 90 o
D. 45 o
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SA vuông góc với đáy (ABCD). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) bằng α với tan α = 10 5 . Tính góc giữa đường thẳng SO và mặt phẳng (ABCD).
A. 60 °
B. 69 , 3 °
C. 90 °
D. 45 °
Đáp án A
Ta có C B ⊥ A B C B ⊥ S A ⇒ C B ⊥ ( S A B )
Do đó S C ; S A B ^ = C S B ^ = α
⇒ S B = a tan α = 5 a 10 ⇒ S A = S B 2 - A B 2 = a 6 2
Ta có S O ; A B C D ^ = S O A ^ trong đó t a n S C A ^ = S A O A = a 6 2 a 2 2 = 3 .
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh SA và BC, biết MN = a 6 2 . Khi đó giá trị sin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (SBD) bằng
A. 2 5 .
B. 3 3 .
C. 5 5 .
D. 3 .
Chọn B
Gọi I là hình chiếu của M lên (ABCD), suy ra I là trung điểm của AO.
Khi đó
Xét tam giác CNI có
Áp dụng định lý cosin ta có:
Xét tam giác MIN vuông tại I nên
Mà MI//SO
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Ta có:
Khi đó
Vectơ pháp tuyến mặt phẳng (SBD)
Suy ra
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Tính côsin góc giữa đường thẳng SA và mp(ABCD)?
Gọi O là tâm đáy \(\Rightarrow SO\perp\left(ABCD\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{SAO}\) hay \(\widehat{SAC}\) là góc giữa SA và (ABCD)
\(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=a\sqrt{2}\)
\(cos\widehat{SAC}=\dfrac{SA^2+AC^2-SC^2}{2SA.AC}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)