Cho đồ thị của hai hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) và \(y = b\) như Hình 3a (với \(a > 1\)) hay Hình 3b (với \(0 < a < 1\)). Từ đây hãy nhận xét về số nghiệm và công thức nghiệm của phương trình \({\log _a}x = b\).
Cho đồ thị của hai hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = b\) như Hình 2a (với \(a > 0\)) hay Hình 2b (với \(0 < a < 1\)). Từ đây, hãy nhận xét về số nghiệm và công thức nghiệm của phương trình \({a^x} = b\) trong hai trường hợp \(b > 0\) và \(b \le 0\).
Khi \(b > 0\), đồ thị của hai hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = b\) cắt nhau tại một điểm duy nhất. Khi đó phương trình \({a^x} = b\) có nghiệm duy nhất \(x = {\log _a}b\).
Khi \(b \le 0\), đồ thị của hai hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = b\) không có điểm chung. Khi đó phương trình \({a^x} = b\) vô nghiệm.
a) Vẽ đồ thị hàm số \(y = {\log _4}x\) và đường thẳng y = 5
b) Nhận xét về số giao điểm của hai đồ thị trên. Từ đó, hãy nêu nhận xét về số nghiệm của phương trình \({\log _4}x = 5\)
a:
b: Hai đồ thị này có 1 giao điểm
=>Phương trình \(log_4x=5\) có 1 nghiệm duy nhất
Cho ba số thực dương a, b, c khác 1 và đồ thị của ba hàm số lôgarit \(y = {\log _a}x;\,y = {\log _b}x;\,y = {\log _c}x\) được cho bởi Hình 15. Kết luận nào sau đây là đúng với ba số a, b, c?
A. c < a < b
B. c < b < a
C. a < b < c
D. b < c < a
Cho các số thực dương \(a,M,N\) với \(a \ne 1\). Bạn Quân đã vẽ sơ đồ và tìm ra công thức biến đổi biểu thức \({\log _a}\left( {MN} \right)\) như sau:
a) Giải thích cách làm của bạn Quân.
b) Vẽ sơ đồ tương tự để tìm công thức biến đổi cho \({\log _a}\frac{M}{N}\) và \({\log _a}{M^\alpha }\left( {\alpha \in \mathbb{R}} \right)\).
Tham khảo:
a) Ta có: \(M = {a^{{{\log }_a}M}},N = {a^{{{\log }_a}N}} \Rightarrow MN = {a^{{{\log }_a}M}}.{a^{{{\log }_a}N}} = {a^{{{\log }_a}M + {{\log }_a}N}}\)
Mặt khác: \(MN = {a^{{{\log }_a}\left( {MN} \right)}}\)
Vậy \({a^{{{\log }_a}M + {{\log }_a}N}} = {a^{{{\log }_a}\left( {MN} \right)}} \Leftrightarrow {\log _a}M + {\log _a}N = {\log _a}\left( {MN} \right)\)
b)
Cho đồ thị ba hàm số \(y = {\log _a}x,y = {\log _b}x\) và \(y = {\log _c}x\) như hình bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. \(a > b > c\).
B. \(b > a > c\).
C. \(a > b > c\).
D. \(b > c > a\).
Hàm số \(y=log_cx\) nghịch biến
\(\Rightarrow0< c< 1\) và các hàm \(y=log_ax,y=log_bx\) đồng biến nên \(a,b>1\)
Ta chọn \(x=100\Rightarrow log_a>log_b100\Rightarrow a< b\Rightarrow b>a>c\)
\(\Rightarrow B\)
\(log_cx\) nghịch biến biến nên 0<c<1
\(log_ax;log_bx\) đồng biến nên a>1; b>1
=>Loại D
\(log_ax>log_bx\left(x>1\right)\)
=>\(\dfrac{1}{log_xa}< \dfrac{1}{log_xb}\)
=>a<b
=>Chọn B
Cho hàm số bậc hai \(y = f(x) = {x^2} - 4x + 3\)
a) Xác định hệ số a. Tính \(f(0);f(1);f(2);f(3);f(4)\) và nhận xét về dấu của chúng so với dấu của hệ số a
b) Cho đồ thị hàm số y=f(x) (H.6.17). Xét từng khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right);\left( {1;3} \right);\left( {3; + \infty } \right)\), đồ thị nằm phía trên hay phía dưới trục Ox?
c) Nhận xét về dấu của f(x) và dấu của hệ số a trên từng khoảng đó.
a) Hệ số a là: a=1
\(f(0) = {0^2} - 4.0 + 3 = 3\)
\(f(1) = {1^2} - 4.1 + 3 = 0\)
\(f(2) = {2^2} - 4.2 + 3 = - 1\)
\(f(3) = {3^2} - 4.3 + 3 = 0\)
\(f(4) = {4^2} - 4.4 + 3 = 3\)
=> f(0); f(4) cùng dấu với hệ số a; f(2) khác dấu với hệ số a
b) Nhìn vào đồ thị ta thấy
- Trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) đồ thị nằm phía trên trục hoành
- Trên khoảng \(\left( {1;3} \right)\), đồ thị nằm phía dưới trục hoành
- Trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\), đồ thị nằm phía trên trục hoành
c) - Trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) đồ thị nằm phía trên trục hoành => f(x)>0, cùng dầu với hệ số a
- Trên khoảng \(\left( {1;3} \right)\), đồ thị nằm phía dưới trục hoành => f(x) <0, khác dấu với hệ số a
- Trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\), đồ thị nằm phía trên trục hoành => f(x)>0, cùng dấu với hệ số a
Hình 11a) biểu diễn đồ thị của các hàm số (với hệ số a > 0)y = 0,5x + 2;
y = x + 2;
y = 2x + 2.
Hình 11b) biểu diễn đồ thị của các hàm số (với hệ số a < 0):
y = -2x + 2;
y = -x + 2;
y = -0,5x + 2.
a) Hãy so sánh các góc α 1 , α 2 , α 3 và so sánh các giá trị tương ứng của hệ số a trong các hàm số (trường hợp a > 0) rồi rút ra nhận xét.
b) Cũng làm tương tự như câu a) với trường hợp a > 0.
a) Ta có: α 1 < α 2 < α 3 và các giá trị tương ứng của hệ số a trong các hàm số :
0,5 < 1 < 2
Nhận xét: Khi hệ số a dương (a > 0) thì góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc nhọn, hệ số a càng lớn thì góc càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn 90o
b) Ta có: β 1 < β 2 < β 3 và các giá trị tương ứng của hệ số a trong các hàm số
-2 < -1 < -0,5
Nhận xét : Khi hệ số a âm (a < 0) thì góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tù, hệ số a càng lớn thì góc càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn 180o
Cho hai số thực dương a, b với \(a \ne 1\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \({\log _a}\left( {{a^3}{b^2}} \right) = 3 + {\log _a}b\).
B. \({\log _a}\left( {{a^3}{b^2}} \right) = 3 + 2{\log _a}b\).
C. \({\log _a}\left( {{a^3}{b^2}} \right) = \frac{3}{2} + {\log _a}b\).
D. \({\log _a}\left( {{a^3}{b^2}} \right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2}{\log _a}b\).
\(log_a\left(a^3b^2\right)=log_aa^3+log_ab^2=3+2\cdot log_ab\)
=>B
a) Quan sát Hình 1.25, hãy cho biết đường thẳng \(y = - 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = \cot x\) tại mấy điểm trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)?\)
b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm cotang, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.
a) Từ Hình 1.25, ta thấy đường thẳng \(y = - 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = \cot x\;\)tại 1 điểm \(x = - \frac{\pi }{4} + \pi \) trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\)
b) Ta có công thức nghiệm của phương trình là: \(x = - \frac{\pi }{4} + \pi + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)