Cho các phát biểu sau:

(1) Hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) có giao tuyến là đường thẳng a và cùng vuông góc với mặt phẳng \((R)\) thì \(a \bot (R)\).

(2) Hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) vuông góc với nhau và có giao tuyến là đường thẳng a, một đường thẳng \(b\) nằm trong mặt phẳng \((P)\) và vuông góc với đường thẳng \(a\) thì \(b \bot (Q)\).

(3) Mặt phẳng \(({\rm{P}})\) chứa đường thẳng a và a vuông góc với \((Q)\) thì \((P) \bot (Q)\).

(4) Đường thẳng a nằm trong mặt phẳng \((P)\) và mặt phẳng \((P)\) vuông góc với mặt phẳng (Q) thì \(a \bot (Q)\).

Số phát biểu đúng trong các phát biểu trên là:

A. 1.                              

B. 2.                              

C. 3.                              

D. 4.

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Kẻ đường thẳng a thuộc (P) và vuông góc với giao tuyến \(\Delta \) của (P) và (Q). Gọi O là giao điểm của a và \(\Delta \). Trong mặt phẳng (Q), gọi b là đường thẳng vuông góc với \(\Delta \) tại O.

a) Tính góc giữa a và b.

b) Tìm mỗi quan hệ giữa a và (Q).

Cho hai đường thẳng ∆ và  ∆ ′ chéo nhau nhận AA’ làm đoạn vuông góc chung, trong đó A thuộc  ∆  và A’ thuộc  ∆ ′ . Gọi (P) là mặt phẳng qua A vuông góc với  ∆ ′ và d là hình chiếu vuông góc của  ∆  trên mặt phẳng (P). Đặt AA’ = a, góc nhọn giữa  ∆  và d là α . Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) cắt  ∆  và  ∆ ′ lần lượt tại M và M’. Gọi M 1 là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P).

Chứng minh 5 điểm A, A’, M, M’,  M 1 cùng nằm trên mặt cầu (S). xác định tâm O của (S). Tính bán kính của (S) theo a,  α  và khoảng cách x giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Cho hai đường thẳng chéo nhau ∆ và  ∆ ′ có AA’ là đoạn vuông góc chung, trong đó A  ∈   ∆  và A′ ∈   ∆ ′. Gọi ( α ) là mặt phẳng chứa AA’ và vuông góc với  ∆ ′ và cho biết AA’ = a. Một đường thẳng thay đổi luôn luôn song song với mặt phẳng ( α ) lần lượt cắt ∆  và  ∆ ′ tại M và M’ . Hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng ( α ) là M 1  . Xác định tâm O và bán kính r của mặt cầu đi qua 5 điểm A, A’ , M , M’,  M 1 . Tính diện tích của mặt cầu tâm O nói trên theo a, x = A’M’ và góc φ = ( ∆ ,  ∆ ′)

Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào là đúng?

a) Đường thẳng Δ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng a và b nếu Δ ⊥a và Δ ⊥b.

b) Gọi (P) là mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng a và b chéo nhau thì đường vuông góc chung của a và b luôn luôn vuông góc với (P).

c) Gọi Δ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b thì Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (a, Δ) và (b, Δ).

d) Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Đường thẳng nào đi qua một điểm M trên a đồng thời cắt b tại N và vuông góc với b thì đó là đường vuông góc chung của a và b.

e) Đường vuông góc chung Δ của hai đường thẳng chéo nhau a và b nằm trong mặt phẳng chứa đường này và vuông góc với đường kia.

Một đường thẳng d thay đổi qua A và tiếp xúc với mặt cầu S(O;R) tại M. Gọi H là hình chiếu của M lên đường thẳng OA. M thuộc mặt phẳng nào trong những mặt phẳng sau đây?

A. Mặt phẳng qua H và vuông góc với OA

B. Mặt phẳng trung trực của OA

C. Mặt phẳng qua O và vuông góc với AM

D. Mặt phẳng qua A và vuông góc với OM.

Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng \(\left( R \right)\). Gọi \(a\) là giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\). Lấy điểm \(M\) trong \(\left( R \right)\), vẽ hai đường thẳng \(MH\) và \(MK\) lần lượt vuông góc với \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\). Hỏi:

a) Hai đường thẳng \(MH\) và \(MK\) có nằm trong \(\left( R \right)\) không?

b) Đường thẳng \(a\) có vuông góc với \(\left( R \right)\) không?

Cho mặt cầu S(O;R) và (P) cách O một khoảng bằng h (0<h<R). Gọi (L) là đường tròn giao tuyến của mặt cầu (S) và (P) có bán kính r. Lấy A là một điểm cố định thuộc (L). Một góc vuông xAy trong (P) quay quanh điểm A. Các cạnh Ax, Ay cắt (L) ở C và D. Đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P) cắt mặt cầu ở B. Diện tích ΔBCD lớn nhất bằng

A. 2 r r 2 + 4 h 2

B.  r r 2 + 4 h 2

C.  r r 2 + h 2

D.  2 r r 2 + h 2