Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥
(ABC), tam giác ABC vuông tại B.
a) Xác định hình chiếu của điểm S trên mặt phẳng (ABC).
b) Xác định hình chiếu của tam giác SBC trên mặt phẳng (ABC).
c) Xác định hình chiếu của tam giác SBC trên mặt phẳng (SAB).
Cho hình đóp S.ABC có SA \( \bot \) (ABC), Tam giác ABC vuông tại B, SA=AB=BC=a
a) Xác định hình chiếu của A trên mặt phẳng (SBC)
b) Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABC).
a) Trong (SAB) kẻ \(AD \bot SB\) tại D.
\(\left. \begin{array}{l}BC \bot AD\\SB \bot AD\\BC \cap SB = \left\{ B \right\}\end{array} \right\} \Rightarrow AD \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow \)D là hình chiếu của A trên (SBC).
b) A là hình chiếu của S trên (ABC) \(\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\)
C là hình chiếu của C trên (ABC)
\( \Rightarrow \) AC là hình chiếu của SC trên (ABC)
\( \Rightarrow \) \(\left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA}\)
Xét tam giác ABC vuông tại B có
\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = 2{a^2} \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \)
Xét tam giác SAC vuông tại A có
\(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{a}{{a\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \widehat {SCA} = \arctan \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
Vậy \(\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \arctan \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
Cho hình chóp S.ABC. Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC).
a) Xác định hình chiếu của các đường thẳng SA, SB, SC trên mặt phẳng (ABC)
b) Giả sử . Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC
a)
+ H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC)
+ A là hình chiếu của A trên mặt phẳng (ABC)
\( \Rightarrow \) HA là hình chiếu của SA trên mặt phẳng (ABC)
+ H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC)
+ B là hình chiếu của B trên mặt phẳng (ABC)
\( \Rightarrow \) HB là hình chiếu của SB trên mặt phẳng (ABC)
+ H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC)
+ C là hình chiếu của C trên mặt phẳng (ABC)
\( \Rightarrow \) HC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABC)
b, Do H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) \( \Rightarrow SH \bot (ABC)\).
Mà \(AB,AC,BC \subset (ABC) \Rightarrow SH \bot AB,SH \bot AC,SH \bot BC\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot BC\\SH \bot BC\\SA \cap SH = S\\SA,SH \subset (SAH)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SAH) \Rightarrow BC \bot AH\,(1)\)
Tương tự \(\left\{ \begin{array}{l}SC \bot AB\\SH \bot AB\\SC \cap SH = S\\SC,SH \subset (SCH)\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot (SCH) \Rightarrow AB \bot CH\,(2)\)
TỪ (1) và (2) \( \Rightarrow \) H là trực tâm của tam giác ABC.
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot (SCH)\\SC \subset (SCH)\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot SC\)
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC. Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) (H.7.36).
a) Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
b) Xác định hình chiếu của đường thẳng SA trên mặt phẳng (ABC).
c) Chứng minh rằng nếu \(AO \bot BC\) thì \(SA \bot BC.\)
d) Xác định hình chiếu của các tam giác SBC, SCA, SAB trên mặt phẳng (ABC)
a) O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) nên \(SO \bot \left( {ABC} \right)\)
Mà \(OA,OB,OC \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow SO \bot OA,SO \bot OB,SO \bot OC\)
Xét tam giác SAO vuông tại O \(\left( {SO \bot OA} \right)\) có
\(S{A^2} = O{A^2} + S{O^2}\) (Định lí Pytago)
Xét tam giác SBO vuông tại O \(\left( {SO \bot OB} \right)\) có
\(S{B^2} = O{B^2} + S{O^2}\) (Định lí Pytago)
Xét tam giác SCO vuông tại O \(\left( {SO \bot OC} \right)\) có
\(S{C^2} = O{C^2} + S{O^2}\) (Định lí Pytago)
Mà SA = SB = SC nên OA = OB = OC
Do đó O là tâm đường trọn ngoại tiếp tam giác ABC.
b) O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC)
A là hình chiếu của A trên mặt phẳng (ABC)
\( \Rightarrow \) OA là hình chiếu của SA trên mặt phẳng (ABC)
c) \(\left. \begin{array}{l}AO \bot BC\\SO \bot BC\left( {SO \bot \left( {ABC} \right)} \right)\\AO \cap SO = \left\{ O \right\}\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAO} \right);SA \subset \left( {SAO} \right) \Rightarrow SA \bot BC\)
d) O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC)
A là hình chiếu của A trên mặt phẳng (ABC)
B là hình chiếu của B trên mặt phẳng (ABC)
C là hình chiếu của C trên mặt phẳng (ABC)
\( \Rightarrow \) Tam giác OAB là hình chiếu của tam giác SAB trên mặt phẳng (ABC)
Tam giác OBC là hình chiếu của tam giác SBC trên mặt phẳng (ABC)
Tam giác OCA là hình chiếu của tam giác SCA trên mặt phẳng (ABC)
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA=2a, SA vuông góc với đáy, gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC; biết tam giác ABC đều cạnh a. Xác định góc giữa các mặt phẳng : (SBC) và (SAC)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là một điểm nằm trên đoạn thẳng BC. Mặt phẳng (SAB) tạo với (SBC) một góc 60 o và mặt phẳng (SAC) tạo với (SBC) một góc φ thỏa mãn cos φ = 2 4 . Gọi α là góc tạo bởi SA và mặt phẳng (ABC). Tính tan α
A. 3 3
B. 2 2
C. 1 2
D. 3
Cho hình chóp S. ABC có S A ⊥ A B C và tam giác BC vuông tại C. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC. H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (ABC). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. H là trọng tâm tam giác Δ A B C
B. H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác Δ A B C
C. H là trung điểm cạnh AC
D. H là trung điểm cạnh AB
Đáp án D
Vì B C ⊥ S A B C ⊥ C A ⇒ B C ⊥ S A C ⇒ B C ⊥ S C ⇒ O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC
Vì S A ⊥ A B C ⇒ H là trung điểm của AB
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác là SBC tam giác đều. Tính số đo của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC)
A . 90 0
B . 60 0
C . 30 0
D . 45 0
Đáp án D
Góc giữa cạnh SA và đáy là S A F ^ ,
Vì tam giác ABC và SBC là tam giác đều cạnh a nên ta có
Vậy
Cho hình chóp S. ABC có SA ⊥ (ABC) và ABC vuông tại C. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC. H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (ABC). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. H là trọng tâm tam giác △ ABC
B. H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác △ ABC
C. H là trung điểm cạnh AC
D. H là trung điểm cạnh AB