\(\left. \begin{array}{l}a \bot d\\d//\Delta \end{array} \right\} \Rightarrow \Delta  \bot a\)

\(\left. \begin{array}{l}b \bot d\\d//\Delta \end{array} \right\} \Rightarrow \Delta  \bot b\)

Mà \(a \cap b = \left\{ O \right\}\) \( \Rightarrow \) mp(a, b) đi qua O và vuông góc với \(\Delta \).

a) b // c; b  (P)  c  (P)

Mà a (P)

a, c cùng đi qua điểm O

 a trùng c.

b) Ta có b // c mà a trùng c nên a // b.

a) Vì O là một điểm thuộc a là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) và a' là đường thẳng qua O và vuông góc với (R).

Theo nhận xét trang 46 thì a' có nằm trong các mặt phẳng (P), (Q).

b) Vì a' có nằm trong các mặt phẳng (P), (Q) nên a’ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) do đó a trùng a' (do a cũng là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q)).

c) a vuông góc với (R) do a trùng a’ và a’ vuông góc với (R).

Hình tứ giác A’M’M M 1  là hình chữ nhật nên tâm O cũng là trung điểm của A’M. Do đó khi x thay đổi thì mặt phẳng (Q) thay đổi và điểm O luôn luôn thuộc đường thẳng d’ đi qua trung điểm I của đoạn AA’ và song song với đường thẳng  ∆ . Vì mặt cầu tâm O luôn luôn đi qua hai điểm cố định A, A’nên nó có tâm O di động trên đường thẳng d’. Do đó mặt cầu tâm O luôn luôn chứa đường tròn tâm I cố định có đường kính AA’ cố định và nằm trong mặt phẳng cố định vuông góc với đường thẳng d’.

Vì mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với Δ′ nên AA’ thuộc (P). Vì M thuộc  ∆  mà d là hình chiếu vuông góc của  ∆  trên (P) nên M 1 thuộc d. Vì MA ⊥ AA′ ⇒  M 1 A  ⊥  AA′

Mặt khác  M 1 A  ⊥  M′A′ nên ta suy ra  M 1 A  ⊥  (AA′M′). Do đó  M 1 A  ⊥  M′A và điểm A thuộc mặt cầu đường kính M’ M 1

Ta có M′A′  ⊥  (P) nên M′A′  ⊥  A′ M 1 , ta suy ra điểm A’ cũng thuộc mặt cầu đường kính M’ M 1

Ta có (Q) // (P) nên ta suy ra

M M 1  ⊥ (Q) mà MM’ thuộc (Q), do đó  M 1 M  ⊥  MM′

Như vậy 5 điểm A, A’, M, M’,  M 1  cùng thuộc mặt cầu (S) có đường kính M’ M 1 . Tâm O của mặt cầu (S) là trung điểm của đoạn M’ M 1

Ta có M ' M 1 2 = M ' A ' 2 + A ' M 1 2  = M ' A ' 2 + A ' A 2 + AM 1 2 = x 2 + a 2 + x 2 cot 2 α vì M M 1  = x

Bán kính r của mặt cầu (S) bằng (M′ M 1 )/2 nên

a) \(\left. \begin{array}{l}\left( P \right) \cap \left( Q \right) = \Delta \\\left( P \right):a \bot \Delta \\\left( Q \right):b \bot \Delta \end{array} \right\} \Rightarrow \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left( {a,b} \right)\)

Mà \(\left( P \right) \bot \left( Q \right) \Rightarrow \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = {90^0} \Rightarrow \left( {a,b} \right) = {90^0}\)

b) \(\left( {a,b} \right) = {90^0} \Rightarrow a \bot b,a \bot \Delta ,b \cap \Delta  \Rightarrow a \bot \left( Q \right)\)

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai (vì a có thể nằm trong mp(α), xem hình vẽ)

d) Sai, chẳng hạn hai mặt phẳng (α) và (β) cùng đi qua đường thẳng a và a ⊥ mp(P) nên (α) và (β) cùng vuông góc với mp(P) nhưng (α) và (β) cắt nhau.

e) Sai, chẳng hạn a và b cùng ở trong mp(P) và mp(P) ⊥ d. Lúc đó a và b cùng vuông góc với d nhưng a và b có thể không song song nhau.

\(\left. \begin{array}{l}\Delta  \bot \left( P \right)\\a \subset \left( P \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta  \bot a,a//b \Rightarrow \Delta  \bot b \Rightarrow \left( {\Delta ,b} \right) = {90^0}\)

\(\Delta  \bot a \Rightarrow \left( {\Delta ,a} \right) = {90^0}\)

\( \Rightarrow \) (\(\Delta \), b) = (\(\Delta \), a) mà b là đường thẳng bất kì thuộc (Q)

\( \Rightarrow \) \(\Delta  \bot \left( Q \right)\)