Trong Hình 7 cho ABB’A’, BCC’B’, ACC’A’ là các hình chữ nhật. Chứng minh rằng \(AB \bot CC',\,\,\,AA' \bot BC\)
Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A'B'C'D'.
a) Chứng minh rằng (BDD′B′) \( \bot \) (ABCD).
b) Xác định hình chiếu của AC′ trên mặt phẳng (ABCD).
c) Cho AB = a, BC = b, CC′ = c. Tính AC′.
a) Ta có \(BB' \bot \left( {ABCD} \right);BB' \subset \left( {BDD'B'} \right) \Rightarrow \left( {BDD'B'} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\)
b) A là hình chiếu của A trên (ABCD)
C là hình chiếu của C’ trên (ABCD) do \(CC' \bot \left( {ABCD} \right)\)
\( \Rightarrow \) AC là hình chiếu của AC’ trên (ABCD)
c) Xét tam giác ABC vuông tại B có
\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {a^2} + {b^2} \Rightarrow AC = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
Xét tam giác AC’C vuông tại C có
\(A{C'^2} = C{C'^2} + A{C^2} = {c^2} + {a^2} + {b^2} \Rightarrow A'C = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA \( \bot \) (ABCD). Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp S.ABCD là các tam giác vuông.
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l} + )BC \bot AB\left( {hcn\,\,ABCD} \right)\\BC \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\AB \cap SA = \left\{ A \right\}\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right);SB \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB\\\left. \begin{array}{l} + )CD \bot AD\left( {hcn\,\,ABCD} \right)\\CD \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\AD \cap SA = \left\{ A \right\}\end{array} \right\} \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right);SD \subset \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot SD\end{array}\)
Xét tam giác SAB có
\(SA \bot AB\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\)
\( \Rightarrow \) Tam giác SAB vuông tại A
Xét tam giác SBC có
\(SB \bot BC\)
\( \Rightarrow \) Tam giác SBC vuông tại B
Xét tam giác SCD có
\(SD \bot CD\)
\( \Rightarrow \) Tam giác SCD vuông tại D
Xét tam giác SAD có
\(SA \bot AD\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\)
\( \Rightarrow \) Tam giác SAD vuông tại A
Cho hình chóp S.ABCD có \(SA \bot (ABCD)\) và đáy ABCD là hình chữ nhật. Chứng minh rằng các tam giác SBC và SCD là các tam giác vuông
Vì ABCD là hình chữ nhật nên \(BC \bot AB\).
Vì \(SA \bot (ABCD) \Rightarrow SA \bot AB,\,SA \bot CD\)
+ Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\\AB \cap SA = A\\AB,\,SA \subset (SAB)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow BC \bot SB\)
Xét \(\Delta SBC\) có \(BC \bot SB \Rightarrow \)Tam giác SBC vuông tại B.
+ Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\\AD \cap SA = A\\AD,\,SA \subset (SAD)\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot (SAD) \Rightarrow CD \bot SD\)
Xét \(\Delta SCD\) có \(CD \bot SD \Rightarrow \)Tam giác SCD vuông tại D.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và SA \( \bot \) (ABCD). Gọi M, N tương ứng là hình chiếu của A trên SB, SD. Chứng minh rằng:
AM \( \bot \) (SBC), AN \( \bot \) (SCD), SC \( \bot \) (AMN).
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l} + )BC \bot AB\left( {hcn\,\,ABCD} \right)\\BC \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\AB \cap SA = \left\{ A \right\}\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right);AM \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AM\\\left. \begin{array}{l} + )CD \bot AD\left( {hcn\,\,ABCD} \right)\\CD \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\AD \cap SA = \left\{ A \right\}\end{array} \right\} \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right);AN \subset \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot AN\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l} + )AM \bot SB\\AM \bot BC\\SB \cap BC = \left\{ B \right\}\end{array} \right\} \Rightarrow AM \bot \left( {SBC} \right);SC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow SC \bot AM\\\left. \begin{array}{l} + )AN \bot SD\\AN \bot CD\\SD \cap CD = \left\{ D \right\}\end{array} \right\} \Rightarrow AN \bot \left( {SCD} \right);SC \subset \left( {SCD} \right) \Rightarrow SC \bot AN\\\left. \begin{array}{l} + )AM \bot SC\\AN \bot SC\\AM \cap AN = \left\{ A \right\}\end{array} \right\} \Rightarrow SC \bot \left( {AMN} \right)\end{array}\)
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Hạ HE $\bot$ AB, HF $\bot$ AC.
a) Chứng minh $\dfrac{AF}{CH}= \dfrac{BH}{AC}$;
b) Cho BC cố định, tìm vị trí của A để diện tích hình chữ nhật AEHF lớn nhất.
Cho tứ diện ABCD có \(AB \bot (BCD),BC \bot CD\). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của B trên AC và AD. Chứng minh rằng:
a) \(CD \bot BM\)
b, \(BM \bot MN\)
a) Vì \(AB \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow AB \bot CD\)
Mà \(CD \bot BC\)\( \Rightarrow CD \bot \left( {ABC} \right)\)
Lại có \(BM \in \left( {ABC} \right)\)\( \Rightarrow CD \bot BM\)
b) Ta có \(\left. \begin{array}{l}BM \bot CD\\BM \bot AC\end{array} \right\} \Rightarrow BM \bot \left( {ACD} \right)\)
Mà \(MN \in \left( {ACD} \right) \Rightarrow BM \bot MN\)
Cho hình chóp O.ABC có \(\widehat {AOB} = \widehat {BOC} = \widehat {COA} = 90^\circ \). Chứng minh rằng:
a) \(BC \bot OA\)
b) \(CA \bot OB\)
c) \(AB \bot OC\)
a) Ta có: \(\left. \begin{array}{l}OA \bot OB\\OA \bot OC\end{array} \right\} \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right)\)
Mà \(BC \in \left( {OBC} \right) \Rightarrow OA \bot BC\)
b) Ta có \(\left. \begin{array}{l}OA \bot OB\\OB \bot OC\end{array} \right\} \Rightarrow OB \bot \left( {OAC} \right)\)
Mà \(CA \in \left( {OAC} \right) \Rightarrow CA \bot OB\)
c) Ta có \(\left. \begin{array}{l}OC \bot OB\\OA \bot OC\end{array} \right\} \Rightarrow OC \bot \left( {OAB} \right)\)
Mà \(AB \in \left( {OAB} \right) \Rightarrow AB \bot OC\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Cho biết \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \({\rm{D}}\), \(AB = 2AD\).
a) Chứng minh \(CD \bot \left( {SAD} \right)\).
b) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Chứng minh \(CM \bot \left( {SAB} \right)\).
tham khảo:
a) Vì SA⊥(ABCD) nên SA⊥CD
Ta có: DC⊥AD;DC⊥SA nên DC⊥(SAD)
b) Vì SA⊥(ABCD) nên SA⊥CM
Ta có: AB = 2CD nên AM = CD. Suy ra AMCD là hình chữ nhật nên CM⊥AB
Mà CM⊥SA
Suy ra: CM⊥(SAB)
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là một hình chữ nhật có tâm O, SO \( \bot \) (ABCD). Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) vuông góc với nhau khi và chỉ khi ABCD là một hình vuông.
\(\left. \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\\\left( {SAC} \right):AC \bot SO = \left\{ O \right\}\\\left( {SBD} \right):BD \bot SO = \left\{ O \right\}\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {\left( {SAC} \right),\left( {SBD} \right)} \right) = \left( {AC,BD} \right) = \widehat {AOB}\)
+) Nếu \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow \widehat {AOB} = {90^0} \Rightarrow AC \bot BD\)
Mà ABCD là hình chữ nhật nên ABCD là hình vuông.
+) Nếu ABCD là hình vuông \( \Rightarrow AC \bot BD \Rightarrow \widehat {AOB} = {90^0}\)
\( \Rightarrow \left( {\left( {SAC} \right),\left( {SBD} \right)} \right) = {90^0} \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)\)