1. Cho tam giác nhọn ABC ( AB≠AC) có các đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Gọi O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC. M là trung điểm của BC. Gọi F là điểm đối xứng với A qua O.
a) Chứng minh: F đối xứng với H qua M.
b) HO cắt AM tại G. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC.
c) Giả sử AH=BC. Chứng minh HG đi qua trung điểm của đoạn thẳng DE.
2. Cho 2021 điểm phân biệt trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng nằm trong hình chữ nhật (kể cả trên các cạnh) có kích thước 10\(\times\)101cm. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có 3 đỉnh lấy từ 2021 điểm đã cho có diện tích không vượt quá 1 cm2.
1
a) ta có A đối xứng với F qua O => O là trung điểm của AF
=> BO là trung tuyến của AF (1)
=> CO là trung tuyến của AF (2)
ta lại có O là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác ABC
=> OA = OB =OC (3)
từ 1-2-3 => Góc ABF = góc ACF = 90
=> AB vuông góc với FB
AC vuông góc với FC
mà CH vuông góc AB => CH // BF
BH vuông góc với AC => BH//CF
Xét tứ giác BHCF có
CH // BF
BH//CF
=> HBFC là hình bình hành (dhnb) có HF và BC là 2 đường chéo
M là trung điểm của BC
=> M là trung điểm của HF => 3 điểm H,M,F thẳng hàng ; HM =FM
=> H đối xứng với F qua M
b) Xét tam giác AHF có M là trung điểm của HF O là trung điểm AF
=> OM là đường trung bình
=> OM =1/2AH <=> AH/OM=2
vì H là giao điểm của 2 đường cao BD và CE nên H là trực tâm => AH vuông góc BC
ta lại có OM vuông góc với BC ( M là trung điểm của BC ; O là giao 3 đường trung tuyến => OM là đường trung tuyến của BC )
=> OM // AH => góc HAG =góc GMO (2 góc so le trong)
xét tam giác AHG và tam giác MOG
có :góc HGA =góc MGO (2 góc đối đỉnh)
góc HAG =góc GMO (cmt)
=> đồng dạng (gg) => AH /OM = AG/MG =2
<=> AG=2MG <=> AM = AG + MG =3MG
<=> AG/AM =2/3 mà AM là tiếp tuyến của BC ( m là trnug điểm BC)
=> G là trọng tâm của tma giác ABC
Cho tam giác ABC nhọn có AB<AC. Gọi H là giao ba đường cao AD, BE, CF. Goi O là giao điểm các đường trung trực cạnh AB và AC. a. Chứng minh rằng ∠𝐴𝑂𝐶 = 2. ∠𝐴𝐵𝐶 và ∠𝑂𝐴𝐶 = ∠𝐵𝐴𝐷. b. Trên tia đối của tia OA lấy điểm K sao cho OK=OA. Chứng minh rằng 𝐾𝐶 ⊥ 𝐴𝐶 ; chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành. c. Gọi M là trung điểm BC, chứng minh rằng 𝐴𝐻 = 2. 𝑂𝑀.
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau
tại H; O là giao điểm của 3 đường trung trực. Gọi I là điểm đối xứng với A qua O
a) Chứng minh: Tứ giác BHCI là hình bình hành. Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác BHCI là hình thoi
b) Tính tổng: \(\dfrac{AH}{AD}+\dfrac{BH}{BE}+\dfrac{CH}{CF}\)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau
tại H; O là giao điểm của 3 đường trung trực. Gọi I là điểm đối xứng với A qua O
a) Chứng minh: Tứ giác BHCI là hình bình hành. Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác BHCI là hình thoi
b) Tính tổng: \(\dfrac{AH}{AD}+\dfrac{BH}{BE}+\dfrac{CH}{CF}\)
cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Vẽ các đường trung trực OM và ON của các cạnh BC, CA (O là giao điểm của hai đường trung trực, M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và CA). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác AHG và AOG
Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC), điểm M là trung điểm BC. Kẻ tia Ax//BM, trên tia Ax lấy điểm D sao cho: AD=BM(M và D khác phía đối với AB). Gọi I là trung điểm của AB.
a, CM: tam giác AID= tam giác BIM.
b,CM: tam giác AIM= tam giác BID, AM//BD.
c, Đường trung trực của BC cắt AC tại E, tia BE cắt đường thẳng Ax tại F.CMR:BE=AC
d, Hai đường thẳng AB và FC cắt nhau ở O. CMR: O,E,M thẳng hàng.
Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC), điểm M là trung điểm BC. Kẻ tia Ax//BM, trên tia Ax lấy điểm D sao cho: AD=BM(M và D khác phía đối với AB). Gọi I là trung điểm của AB.
a, CM: tam giác AID= tam giác BIM.
b,CM: tam giác AIM= tam giác BID, AM//BD.
c, Đường trung trực của BC cắt AC tại E, tia BE cắt đường thẳng Ax tại F.CMR:BE=AC
d, Hai đường thẳng AB và FC cắt nhau ở O. CMR: O,E,M thẳng hàng
Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), 2 đường cao AD, BE cắt nhau ở H, M là trung điểm BC. Gọi F là điểm đối xứng với H qua M.
a) Tính góc ABF
b) Gọi I là trung điểm của AF. Chứng minh I là giao điểm các đường trung trực của tam giác ABC.
Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC), điểm M là trung điểm BC. Kẻ tia Ax//BM, trên tia Ax lấy điểm D sao cho: AD=BM(M và D khác phía đối với AB). Gọi I là trung điểm của AB.
a, CM: tam giác AID= tam giác BIM.
b,CM: tam giác AIM= tam giác BID, AM//BD.
c, Đường trung trực của BC cắt AC tại E, tia BE cắt đường thẳng Ax tại F.CMR:BE=AC
d, Hai đường thẳng AB và FC cắt nhau ở O. CMR: O,E,M thẳng
các bạn giúp mình nhé mai mình phải nộp rồi
Xét tam giác AID và tam giác BIM có :
AD = BM (gt)
AI = BI (GT)
\(\widehat{A}=\widehat{B}\) (Ax song song với BM; ở vị trí so le trong)
Do đó : tam giác AID = tam giác BIM (c-g-c)
B)
Xét 2 tam giác AIM và BID có :
AI = BI (gt)
DI = IM ( tam giác AID = tam giác BIM)
\(\widehat{BID}=\widehat{AIM}\)(Đ đ)
Do đó : \(\Delta AIM=\Delta BID\left(c-g-c\right)\)
c)
