Giúp với ạ.
Tìm tất cả hàm số \(f:R\backslash\left\{0,1\right\}\rightarrow R\) thoả mãn
\(f\left(\dfrac{1}{1-x}\right)+f\left(\dfrac{x-1}{x}\right)=x+1-\dfrac{1}{x}\) , \(\forall x\in R\backslash\left\{0,1\right\}\)
Những câu hỏi liên quan
2 tháng 1 lúc 17:34
Tìm tất cả hàm số \(f:R^+\rightarrow R^+\) thoả mãn:
\(f\left(x^2+y^2\right)=f\left(xy\right),\forall x,y\in R^+\)
13 tháng 1 lúc 9:32
Tìm tất cả hàm số \(f:R\rightarrow R\) thoả mãn:
\(f\left(xf\left(y\right)-y\right)+f\left(xy-x\right)+f\left(x+y\right)=2xy,\forall x,y\in R\)
Em chỉ mới chứng minh được f là hàm lẻ ạ, mong mọi người giúp :'(
Thay \(x=0;y=0\) vào giả thiết ta được \(f\left(0\right)=0\)
Thay \(y=0\) ta được \(f\left(x\right)+f\left(-x\right)=0\Rightarrow f\) là hàm lẻ
(Phân tích 1 chút: khi đã có hàm lẻ, ta cần thế tiếp 1 cặp sao cho "khử" được biểu thức phức tạp dạng hàm lồng đầu tiên, bằng cách tìm 1 giá trị y sao cho: \(x.f\left(y\right)-y=-\left(x+y\right)\) hoặc là \(x.f\left(y\right)-y=-\left(xy-x\right)\). Cái thứ nhất cho ta \(x.\left[f\left(y\right)+1\right]=0\Rightarrow f\left(y\right)=-1\) , nghĩa là ta chỉ cần tìm 1 hằng số c sao cho \(f\left(c\right)=-1\). Cái thứ 2 ko cho điều gì tốt nên bỏ qua. Bây giờ ta đi tìm c. Vế phải cần bằng -1, nghĩa là \(xy=-\dfrac{1}{2}\), vế trái cần khử bớt 2 số hạng. Nhưng trước khi có c thì \(f\left(x.f\left(y\right)-y\right)\) chưa khử được, nên ta cần khử cặp sau, bằng cách cho \(xy-x=-\left(x+y\right)\Rightarrow xy=-y\Rightarrow x=-1\), thay vào \(xy=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow y=\dfrac{1}{2}\). Xong.)
Thế \(x=-1;y=\dfrac{1}{2}\) ta được:
\(f\left(-f\left(\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{1}{2}\right)+f\left(-\dfrac{1}{2}+1\right)+f\left(-1+\dfrac{1}{2}\right)=-1\)
\(\Leftrightarrow f\left(-f\left(\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{1}{2}\right)=-1\)
Đặt \(c=-f\left(\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{1}{2}\) là 1 hằng số nào đó
\(\Rightarrow f\left(c\right)=-1\)
Thế \(y=c\) vào ta được:
\(f\left(x.f\left(c\right)-c\right)+f\left(cx-x\right)+f\left(x+c\right)=2c.x\)
\(\Leftrightarrow f\left(-x-c\right)+f\left(x+c\right)+f\left(cx-x\right)=2c.x\)
\(\Leftrightarrow f\left(cx-x\right)=2c.x\) (1)
- Nếu \(c=1\Rightarrow f\left(0\right)=2x\) ko thỏa mãn \(f\left(0\right)=0\)
\(\Rightarrow c\ne1\), khi đó đặt \(cx-x=t\) \(\Rightarrow x=\dfrac{t}{c-1}\)
(1) trở thành \(f\left(t\right)=\dfrac{2c}{c-1}.t\)
Đặt \(\dfrac{2c}{c-1}=a\) \(\Rightarrow f\left(t\right)=a.t\)
Hay hàm cần tìm có dạng \(f\left(x\right)=ax\) với a là hằng số
Đúng 3
Bình luận (2)
Tìm tất cả hàm số \(f:R\rightarrow R\) thỏa mãn\(f\left(f\left(x+y\right).f\left(x-y\right)\right)=x^2-y.f\left(y\right)\) \(\forall x,y\in R\)
18 tháng 7 2023 lúc 20:17
Cho hàm số fleft(xright)left|x^2-2x+mright| với minleft[-2018;2018right]. Gọi M là giá trị nhỏ nhất của hàm số fleft(x+dfrac{1}{x}right) trên tập Rbackslashleft{0right}. Số giá trị m nguyên để Mge2 là bao nhiêu?
Đọc tiếp
Cho hàm số \(f\left(x\right)=\left|x^2-2x+m\right|\) với \(m\in\left[-2018;2018\right]\). Gọi \(M\) là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left(x+\dfrac{1}{x}\right)\) trên tập \(R\backslash\left\{0\right\}\). Số giá trị \(m\) nguyên để \(M\ge2\) là bao nhiêu?
f:\(R^+\rightarrow R^+\) thỏa f(1)=\(\dfrac{1}{2}\) và f(x.y)=\(f\left(x\right)\).\(f\left(\dfrac{3}{y}\right)\) +\(f\left(y\right)\).\(f\left(\dfrac{3}{x}\right)\) \(\forall x,y\in R^+\) .Tìm f
Cho hàm số f: RrightarrowR , nge2 là số nguyên . CMR: nếu dfrac{fleft(xright)+fleft(yright)}{2}ge fleft(dfrac{x+y}{2}right)forall x,yge0 (1) thì ta có :dfrac{fleft(x_1right)+fleft(x_2right)+....+fleft(x_nright)}{n}ge fleft(dfrac{x_1+x_2+...+x_n}{n}right) forall xge0,ioverline{l,n}
Đọc tiếp
Cho hàm số f: R\(\rightarrow\)R , \(n\ge2\) là số nguyên . CMR: nếu
\(\dfrac{f\left(x\right)+f\left(y\right)}{2}\ge f\left(\dfrac{x+y}{2}\right)\forall x,y\ge0\) (1) thì ta có :
\(\dfrac{f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)+....+f\left(x_n\right)}{n}\ge f\left(\dfrac{x_1+x_2+...+x_n}{n}\right)\) \(\forall x\ge0,i=\overline{l,n}\)
Xác định các tập: Acup B,Acap B;Abackslash B;Bbackslash A
a, Aleft{xin R|-3le xle5right};Bleft{xin R|left|xright| 4right}
b, Aleft[1;5right];Bleft(-3;2right)cupleft(3;7right)
c, Aleft{xin R|dfrac{1}{left|x-1right|}ge2right};Bleft{xin R|left|x-2right|le1right}
d, Aleft[0;2right]cupleft(4;6right);B(-5;0]cupleft(3;5right)
Đọc tiếp
Xác định các tập: \(A\cup B,A\cap B;A\backslash B;B\backslash A\)
a, \(A=\left\{x\in R|-3\le x\le5\right\};B==\left\{x\in R|\left|x\right|< 4\right\}\)
b, \(A=\left[1;5\right];B=\left(-3;2\right)\cup\left(3;7\right)\)
c, \(A=\left\{x\in R|\dfrac{1}{\left|x-1\right|}\ge2\right\};B=\left\{x\in R|\left|x-2\right|\le1\right\}\)
d, \(A=\left[0;2\right]\cup\left(4;6\right);B=(-5;0]\cup\left(3;5\right)\)
a, \(A\cup B=(-4;5]\)
\(A\cap B=[-3;4)\)
\(A\backslash B=\left[4;5\right]\)
\(B\backslash A=\left(-4;-3\right)\)
b, \(A\cup B=\left(-3;7\right)\)
\(A\cap B=[1;2)\cup(3;5]\)
\(A\backslash B=\left[2;3\right]\)
\(B\backslash A=\left(-3;1\right)\cup\left(5;7\right)\)
c, \(A\cup B=\left[\dfrac{1}{2};3\right]\)
\(A\cap B=\left[1;\dfrac{3}{2}\right]\)
\(A\backslash B=[\dfrac{1}{2};1)\)
\(B\backslash A=(\dfrac{3}{2};3]\)
d, \(A\cup B=(-5;2]\cup(3;6]\)
\(A\cap B=\left\{0\right\}\cup[4;5)\)
\(A\backslash B=(0;2]\cup\left[-5;6\right]\)
\(B\backslash A=[-5;0)\cup\left(3;4\right)\)
Đúng 1
Bình luận (0)
Cho biểu thức $f\left( x \right)=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+\left( m-1 \right){{x}^{2}}-\left( 2m-10 \right)x-1$ với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để ${f}'\left( x \right)>0$ $\forall x\in \mathbb{R}$.
Xem thêm câu trả lời
tìm tất cả các hàm f:R \(\rightarrow\)R thõa mãn điều kiện
\(f\left(x\right)+f\left(\dfrac{x-1}{x}\right)=1+x\)với mọi \(x\notin\left\{0;1\right\}\)