chiu

tk nhe

xin do

bye

\(n^4-6n^3+27n^2-54n+32\)

\(=n^4-n^3-5n^3+5n^2+22n^2-22n+32n-32\)

\(=\left(n-1\right)\left(n^3-5n^2+22n+32\right)\)

\(=\left(n-1\right)\left(n^3-2n^2-3n^2+6n+16n+32\right)\)
\(=\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n^2-3n+16\right)\) chia hếtcho 2

Bài 1:

\(M=x^4-x^3-x^3+x^2+2x^2-2x+2\)

\(=x^2\left(x^2-x\right)-x\left(x^2-x\right)+2\left(x^2-x\right)+2\)

\(=3x^2-3x+6+2\)

\(=3x^2-3x+8\)

\(=3\left(x^2-x\right)+8=3\cdot3+8=17\)

Cách 1:

Ta có:

\(A=n^4-6n^3+27n^2-54n+32=(n^4-n^3)-5n^3+5n^2+22n^2-22n-32n+32\)

\(=n^3(n-1)-5n^2(n-1)+22n(n-1)-32(n-1)\)

\(=(n-1)(n^3-5n^2+22n-32)\)

\(=(n-1)(n^3-2n^2-3n^2+6n+16n-32)\)

\(=(n-1)[n^2(n-2)-3n(n-2)+16(n-2)]\)

\(=(n-1)(n-2)(n^2-3n+16)\)

Ta thấy $(n-1)(n-2)$ là tích 2 số nguyên liên tiếp nên \((n-1)(n-2)\vdots 2\)

\(\Rightarrow A=(n-1)(n-2)(n^2-3n+16)\vdots 2\)

Ta có đpcm.

Cách 2:

\(A=n^4-6n^3+27n^2-54n+32\)

\(=(n^4+27n^2)-(6n^3+54n-32)\)

\(=n^2(n^2+27)-2(3n^3+27n-16)\)

Ta thấy \(n^2+27-n^2=27\) lẻ nên $n^2, n^2+27$ khác tính chẵn lẻ

Do đó trong 2 số $n^2$ và $n^2+27$ có 1 số chẵn, 1 số lẻ

\(\Rightarrow n^2(n^2+27)\vdots 2\)

Mà \(2(3n^3+27n-16)\vdots 2\)

Suy ra \(A=n^2(n^2+27)-2(3n^3+27n-16)\vdots 2\)

Ta có đpcm.

\(A=n^4-6n^3+27n^2-54n+32\)

\(=\left(n^4-3n^3+16n^2\right)-\left(3n^3-9n^2+48n\right)+\left(2n^2-6n+32\right)\)

\(=n^2\left(n^2-3n+16\right)-3n\left(n^2-3n+16\right)+2\left(n^2-3n+16\right)\)

\(=\left(n^2-3n+2\right)\left(n^2-3n+16\right)\)

\(=\left(n-2\right)\left(n-1\right)\left(n^2-3n+16\right)\)

Nhận thấy:  \(\left(n-2\right)\left(n-1\right)\)là tích 2 số nguyên liên tiếp    \(\left(n\in Z\right)\)

=>  \( \left(n-2\right)\left(n-1\right)\)\(⋮\)\(2\)

=>  A chia hết cho 2

Đặt \(N=n^4+4n^3+7n^2+6n+3=\left(n^2+n+1\right)\left(n^2+3n+3\right)\)

Do \(n\) và \(n+1\) luôn khác tính chẵn lẻ \(\Rightarrow n^2\) và \(n+1\) khác tính chẵn lẻ

\(\Rightarrow n^2+n+1\) luôn lẻ

Gọi \(d=ƯC\left(n^2+n+1;n^2+3n+3\right)\) \(\Rightarrow d\) lẻ

\(\Rightarrow n^2+3n+3-\left(n^2+n+1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow2\left(n+1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow n+1⋮d\)

\(\Rightarrow\left(n+1\right)^2⋮d\Rightarrow\left(n+1\right)^2-\left(n^2+n+1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow n⋮d\Rightarrow n+1-n⋮d\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow n^2+n+1\) và \(n^2+3n+3\) nguyên tố cùng nhau

Giả sử tồn tại m nguyên dương thỏa mãn: \(\left(n^2+n+1\right)\left(n^2+3n+3\right)=m^3\)

Hiển nhiên \(m>1\), do \(n^2+n+1\) và \(n^2+3n+3\) nguyên tố cùng nhau, đồng thời \(n^2+3n+3>n^2+n+1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^2+n+1=1\\n^2+3n+3=m^3\end{matrix}\right.\)

Từ \(n^2+n+1=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n=-1\\n=0\end{matrix}\right.\) đều ko thỏa mãn n nguyên dương

Vậy N luôn luôn ko là lập phương

\(n\left(n+5\right)-\left(n-3\right)\left(n+2\right)\)

\(=n^2+5n-n^2+n+6\)

\(=6n+6=6\left(n+1\right)⋮6\forall n\in Z\)