Gọi (α) là mặt phẳng qua O song song với AB và SC.

AB // (α) nên (α) cắt mp(ABCD) theo giao tuyến qua O và song song với AB. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng qua O song song AB với BC và AD.

Trong mặt phẳng (SAC) kẻ OP // SC (P ϵ AS) (α) cắt mp(SAB) theo giao tuyến PQ // AB (Q ϵ SB)

Thiết diện cần tìm là tứ giác MNPQ.

Tứ giác MNPQ có PQ // MN nên MNPQ là hình thang.

a) Vì M ∈ (SAB)

Và  nên (α) ∩ (SAB) = MN

và MN // SA

Vì N ∈ (SBC)

Và  nên (α) ∩ (SBC) = NP

và NP // BC (1)

 ⇒ (α) ∩ (SCD) = PQ

Q ∈ CD ⇒ Q ∈ (ABCD)

Và  nên (α) ∩ (ABCD) = QM

và QM // BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác MNPQ là hình thang.

b) Ta có:

 ⇒ (SAB) ∩ (SCD) = Sx và Sx // AB // CD

MN ∩ PQ = I ⇒ 

MN ⊂ (SAB) ⇒ I ∈ (SAB), PQ ⊂ (SCD) ⇒ I ∈ (SCD)

⇒ I ∈ (SAB) ∩ (SCD) ⇒ I ∈ Sx

(SAB) và (SCD) cố định ⇒ Sx cố định ⇒ I thuộc Sx cố định.

a) Ta thấy:

+ G là trọng tâm tam giác ABC ⇒ G ∈ BD ⇒ G ∈ BD

+ I ∈ DN (theo cách dựng hình).

+ J ∈ BP (theo cách dựng hình).

⇒ S, I, J, G ∈ mp(SPN)

Tương tự ⇒ S, I, J, G ∈ mp(SQM)

Vậy S, I, J, G là điểm chung của mp(SPN) và mp(SQM)

b)

Ta thấy:

+ S = PD ∩ EM

+ K ∈ DM

+ L ∈ PE

⇒ S, K, L ∈ (SPM)

Tương tự ⇒ S, K, L ∈ (SQN)

Vậy S, K, L là điểm chung của (SPM) và (SQN)

a) Chứng minh  B 1 ,   C 1 ,   D 1  lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC, SD

Ta có:

⇒ A 1 B 1  là đường trung bình của tam giác SAB.

⇒   B 1  là trung điểm của SB (đpcm)

*Chứng minh tương tự ta cũng được:

• C 1  là trung điểm của SC.

• D 1  là trung điểm của SD.

b) Chứng minh  B 1 B 2   =   B 2 B ,   C 1 C 2   =   C 2 C ,   D 1 D 2   =   D 2 D .

⇒ A 2 B 2  là đường trung bình của hình thang A 1 B 1 B A

⇒   B 2  là trung điểm của B 1 B

⇒   B 1 B 2   =   B 2 B (đpcm)

*Chứng minh tương tự ta cũng được:

• C 2  là trung điểm của C 1 C 2   ⇒   C 1 C 2   =   C 2 C

• D 2  là trung điểm của D 1 D 2   ⇒   D 1 D 2   =   D 2 D .

c) Các hình chóp cụt có một đáy là tứ giác ABCD, đó là : A 1 B 1 C 1 D 1 . A B C D   v à   A 2 B 2 C 2 D 2 . A B C D

Đáp án D

AB và mặt phẳng (Ox, Oy) luôn có điểm chung I

α  chứa AB

  ⇒ I luôn nằm trên giao tuyến của  α  và (Ox, Oy)     (1)

Ta lại có:  α  thay đổi cắt Ox tại M, Oy tại N

Xét α và (Ox, Oy) có M và N là điểm chung

⇒ MN là giao tuyến của 2 mặt phẳng        (2)

(1);(2): M, N, I thẳng hàng

⇒ MN luôn đi qua I cố định

Tham khảo:

Ta có N thuộc đường thẳng AB , mà AB nằm trong mặt phẳng (ABM) nên N cũng nằm trong mp(ABM)

M và N đều nằm trong mặt phẳng (ABM) nên MN nằm trong mp(ABM) (1)

M thuộc SC suy ra M nằm trong mp(SCD), N thuộc đường thẳng CD nên N nằm trong mp(SCD)

Do đó, MN nằm trong mp(SCD) (2)

Từ (1) và (2) suy ra MN là giao tuyến của hai mp(ABM) và (SCD)

a) Ta có:
- M là trung điểm của AB, nên M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
- P là trung điểm của SC, nên P là trung điểm của đoạn thẳng SC.
- I là trung điểm của SB, nên I là trung điểm của đoạn thẳng SB.

Vì M, P, I lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, SC, SB, nên ta có:
2AM = AB, 2CP = CS, 2BI = BS.

Giả sử BC không song song với MP. Khi đó, ta có:
- MP cắt BC tại H.
- MP cắt SA tại K.
- MP cắt QN tại L.

Theo định lý , ta có:
AH/HC = AK/KS = AL/LQ.

Từ đó, ta có:
2AM/2CP = AK/KS = AL/LQ.

Tuy nhiên, ta đã biết rằng 2AM/2CP = AB/CS = BS/CS = BI/CS = 2BI/2CP.

Vậy ta có:
2BI/2CP = AK/KS = AL/LQ.

Do đó, ta có AK = AL và KS = LQ.

Từ đó, ta suy ra K = L và Sẽ có MP song song với BC.

Vậy BC // (IMP).

b) Thiết diện của mặt phẳng (α) với hình chóp là một hình tam giác. Để xác định hình tam giác này, cần biết thêm thông tin về góc giữa mặt phẳng (α) và mặt phẳng đáy ABC.

c) Đường thẳng CN và mặt phẳng (SMQ) giao nhau tại một điểm. Để tìm giao điểm này, cần biết thêm thông tin về góc giữa đường thẳng CN và mặt phẳng (SMQ).

--thodagbun--

(Bn tham khảo cách lm đy nhe )