\(x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)=\left[x\left(x+3\right)\right]\left[\left(x+1\right)\left(x+2\right)\right]\)

\(=\left(x^2+3x\right)\left(x^2+3x+2\right)=\left(x^2+3x+1-1\right)\left(x^2+3x+1+1\right)\)

\(=\left(x^2+3x+1\right)^2-1\ge-1\) với moi x

Dấu "=" xảy ra <=> x²+3x+1=0

<=>\(\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{5}{4}=0< =>\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2=0\)

\(< =>\left(x+\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}\right)\left(x+\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\right)=0\)

<=>..... (x có 2 nghiệm)

Vậy Min của...=-1 khi.............

x^4+3x^2+1>=1

Dấu = xảy ra khi x=0

\(A=\frac{x^2-3}{\left(x-2\right)^2}=\frac{-3x^2+12x-12+4x^2-12x+9}{\left(x-2\right)^2}\)

\(=-3+\frac{4x^2-12x+9}{\left(x-2\right)^2}=-3+\frac{\left(2x-3\right)^2}{\left(x-2\right)^2}\ge-3\)

Vậy GTNN là - 3  đạt được khi x = 1,5

Ta có: A=x³+y³+xy = (x+y)(x²-xy+y²)+xy

=> A=(x+y)(x²+2xy+y²-3xy)+xy

<=> A=(x+y)[(x+y)²-3xy]+xy=1.(1²-3xy)+xy

=> A=1-2xy

Lại có:\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)

=> \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)=> \(xy\le\frac{1}{4}\)

=> A=1-2xy\(\ge1-\frac{2.1}{4}\)

=> \(A\ge\frac{1}{2}\)

=> GTNN của A là 1/2

\(A=x^3+y^3+y^3+xy=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+xy=x^2-xy+y^2+xy=x^2+y^2\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : 

\(\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x.1+y.1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow A=x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)

Dấu ''='' xảy ra <=> \(x=y=\frac{1}{2}\)

Vậy A_Min = \(\frac{1}{2}\) tại \(x=y=\frac{1}{2}\)

\(B=\left(x+y\right)^3-3xy.\left(x+y\right)+xy\)

Vì \(x+y=1\) nên \(B=1-2xy\)

Mà \(xy\Leftarrow\left(x+y\right)^{\frac{2}{4}}=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow B>1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)

GTNN của \(B\) là \(\frac{1}{2}\)

\(\hept{\begin{cases}x+y=1\\x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)\end{cases}\Rightarrow A=1-xy}\)

\(x+y=1\Rightarrow\left(x+y\right)^2=1\Rightarrow\left(x-y\right)^2=1-4xy\)

\(\left(x-y\right)^2\ge0\Rightarrow xy\le\frac{1}{4}\)

GTNN A=1-1/4=3/4 khi xy=1/4 

cảm ơn nhé

tớ 0 hiểu phần (x-y)^2 >= 0 thì xy<= 1/4 của cậu

GTNN=2 <=> x=2

Câu a :

Ta có :

\(x^2-x+3\)

\(=x^2-x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{11}{4}\)

\(=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{11}{4}\)

Do : \(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\Rightarrow\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{11}{4}\ge\dfrac{11}{4}\)

Vậy GTNN của biểu thức trên \(=\dfrac{11}{4}\)

Dấu \(=\) xảy ra khi \(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2=0\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}\)

Câu b :

Ta có :

\(-x^2+6-8\)

\(=-x^2+6x-9+1\)

\(=-\left(x^2-6x+9\right)+1\)

\(=-\left(x-3\right)^2+1\)

Do :

\(\left(x-3\right)^2\ge0\Rightarrow-\left(x-3\right)^2\le0\Rightarrow-\left(x-3\right)^2+1\le1\)

Vâỵ GTNN của biểu thức \(=11\)

Dấu \(=\) xảy ra khi \(\left(x-3\right)^2=0\Rightarrow x=3\)

có x^2-x+3=x^2-1/2*2*x+(1/2)^2+11/4=(x-1/2)^2+11/4

có (x-1/2)^2>hoặc =0suy ra(x-1/2)^2+11/4>hoặc=11/4

dấu =xảy ra khi x-1/2=0suy ra x=1/2

có -x^2+6x-8=-(x^2-6x+8)=-(x-3)^2+1

có-(x-3)^2>hoặc=0suy ra -(x-3)^2+1>hoặc=1

dấu = xảy ra khi x-3=0suy ra x=3