a: Xét ΔABD và ΔACE có 

\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)

AB=AC
\(\widehat{BAD}\) chung

Do đó: ΔABD=ΔACE

Suy ra: AD=AE

Xét ΔABC có

\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AD}{AC}\)

Do đó: DE//BC

Xét tứ giác BEDC có DE//BC

nên BEDC là hình thang

mà BD=CE

nên BEDC là hình thang cân

b: Xét ΔEBD có \(\widehat{EBD}=\widehat{EDB}\left(=\widehat{DBC}\right)\)

nên ΔEBD cân tại E

Suy ra: ED=EB

mà EB=DC

nên BE=ED=DC

AI cắt ED tại J', ta cm J' ≡ J 

Từ tính chất tgiác đồng dạng ta có: 

EJ'/BI = AE/AB = ED/BC = ED/2BI 

=> EJ' = ED/2 => J' là trung điểm ED => J' ≡ J 

Vậy A,I,J thẳng hàng 

*OI cắt ED tại J" ta cm J" ≡ J 

Hiển nhiên ta có: 

OD/OB = ED/BC (tgiác ODE đồng dạng tgiác OBC) 

Mặt khác: 

^J"DO = ^OBI (so le trong), ^J"OD = ^IOB (đối đỉnh) 

=> tgiác J"DO đồng dạng với tgiác IBO 

=> J"D/IB = OD/OB = ED/BC = ED/ 2IB 

=> J"D = ED/2 => J" là trung điểm ED => J" ≡ J 

Tóm lại A,I,O,J thẳng hàng 

#)Mình vẽ hình cho nhé :

a: Xét ΔEBC vuông tại E và ΔDCB vuông tại D có

BC chung

góc EBC=góc DCB

=>ΔEBC=ΔDCB

=>BE=DC

=>AE=AD

b: Xét ΔAEI vuông tại E và ΔADI vuông tại D có

AI chung

AE=AD

=>ΔAEI=ΔADI

=>góc EAI=góc DAI

=>AI là phân giác của góc BAC

c: ΔABC cân tại A

mà AM là trung tuyến

nên AM là phân giác của góc BAC

=>A,I,M thẳng hàng

`a,`

Vì `\Delta ABC` cân tại A

`-> \text {AB = AC, }` $\widehat {B} = \widehat {C}$

Xét `2\Delta` vuông và `BEC` và `CDB`:

`\text {BC chung}`

$\widehat {B} = \widehat {C}$

`=> \Delta BEC = \Delta CDB (ch-gn)`

`-> \text {BE = CD (2 cạnh tương ứng)}`

`b,`

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\text{AB = AE + BE}\\\text{AC = AD + CD}\end{matrix}\right.\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}\text{AB = AC}\\\text{BE = CD}\end{matrix}\right.\)

`-> \text {AE = AD}`

Xét `2\Delta` vuông `AEI` và ` ADI`:

`\text {AE = AD}`

`\text {AI chung}`

`=> \Delta AEI = \Delta ADI (ch-cgv)`

`->` $\widehat {EAI} = \widehat {DAI} (\text {2 góc tương ứng})$

`-> \text {AI là tia phân giác của}` $\widehat {EAD}$

Mà \(\text{E}\in\text{AB, D}\in\text{AC}\)

`-> \text {AI là tia phân giác của}` $\widehat {BAC}$ `(1)`

`c,`

Vì M là trung điểm của AC

`-> \text {AM là đường trung tuyến của} \Delta ABC` `(2)`

Từ `(1)` và `(2)`

`-> \text {Ba điểm A, I, M thẳng hàng.}`

a: Xét ΔABC có BD là đường phân giác

nên AB/BC=AD/DC

hay AD/DC=AC/BC(1)

XétΔACB có CE là đường phân giác

nên AC/BC=AE/EB(2)

Từ (1) và (2) suy ra AD/DC=AE/EB

=>DE//BC

Xét tứ giác BEDC có DE//BC

nên BEDC là hình thang

mà \(\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\)

nên BEDC là hình thang cân

b: Xét ΔEDB có \(\widehat{EDB}=\widehat{EBD}\left(=\widehat{DBC}\right)\)

nên ΔEDB cân tại E

=>ED=EB

mà EB=DC

nên BE=ED=DC

 a) có ^ABC = ^ACB (hiễn nhiên) 
=> ^DBC = ^ECB, BC là cạnh chung 
=> tgiác DBC = tgiác ECB 
=> BE = CD mà AB = AC 
=> AE/AB = AD/AC 
=> ED // BC 

b) từ cm trên đã có BE = CD, ta chỉ cần cm BE = ED? 

Có: ^EDB = ^DBC (so le trong) 
mà ^DBC = ^EBD (BD là phân giác) 

=> ^EDB = ^DBC = ^EBD 
=> tgiác BED cân tại E 
=> BE = ED 

c) 
*AI cắt ED tại J', ta cm J' ≡ J 
Từ tính chất tgiác đồng dạng ta có: 

EJ'/BI = AE/AB = ED/BC = ED/2BI 
=> EJ' = ED/2 => J' là trung điểm ED => J' ≡ J 
Vậy A,I,J thẳng hàng 

*OI cắt ED tại J" ta cm J" ≡ J 
hiễn nhiên ta có: 
OD/OB = ED/BC (tgiác ODE đồng dạng tgiác OBC) 
mặt khác: 
^J"DO = ^OBI (so le trong), ^J"OD = ^IOB (đối đỉnh) 
=> tgiác J"DO đồng dạng với tgiác IBO 

=> J"D/IB = OD/OB = ED/BC = ED/ 2IB 

=> J"D = ED/2 => J" là trung điểm ED => J" ≡ J 

Tóm lại A,I,O,J thẳng hàng 

a) Có: góc B1 = C1 = 1/2 góc ABC ( BD là pg t.giác ABC )

góc C1 = C2 = 1/2 góc ACB ( CE là pg t.giác ABC )

=> góc ABC = ACB ( t.giác ABC cân tại A )

=> góc B1 = C1; góc B2 = C2

Xét t. giác AEC và t.giác ADB có:

góc A chung

AC=AB ( t.giác ABC cân tại A )

góc B1 = C1 ( cmt )

=> t.giác AEC = t.giác ADB ( g.c.g )

=> AE = AD ( 2 cạnh t/ư)

=> t.giác AED cân tại A ( dhnb )

=> góc E1 = 180 độ - góc A / 2 ( t/c )

=> góc ACB = 180 độ - góc A / 2 ( vì t.giác ABC cân tại A )

=> góc E1 = ABC

Mà góc E1, ABC ở vị trí đồng vị

Nên ED//BC ( dhnb)

=> EDBC là hình thang ( định nghĩa )

EC= BD ( vì t.giác AEC = t.giác ABC )

=> EDBC là hình thang cân ( dhnb )

2 câu còn lại mai tớ lm nhé

Xin lỗi vì hình không được chính xác cho lắm.

a) Dễ thấy DE là đường trung bình nên DE // BC => Tứ giác BCDE là hình thang

b) Dễ thấy MN là đường trung bình do đó MN // ED (và BC nữa nhưng ở đây ko cần:v)

Ta có MN // ED -> MI // ED (1) . Mà M là trung điểm BE(2) . Từ (1) và (2) có ngay I là trung điểm BD.

Chứng minh tương tự (bạn tự chứng minh nhá) ta cũng có K là trung điểm CE.

c) Từ câu b) ta suy ra MI là đường trung bình nên \(MI=\frac{1}{2}ED\)

Tương tự \(KN=\frac{1}{2}ED\). Bây giờ phải chứng minh \(IK=\frac{1}{2}ED\) là xong . Tuy nhiên mình chưa nghĩ ra.

Làm tiếp:

c)Dễ thấy MK là đường trung bình (do từ câu b thì K là trung điểm EC)

Do đó \(MK=\frac{1}{2}BC\Leftrightarrow MI+IK=\frac{1}{2}BC\) 

\(\Rightarrow IK=\frac{1}{2}BC-MI=\frac{1}{2}BC-\frac{1}{2}ED=\frac{1}{2}ED\) (do \(ED=\frac{1}{2}BC\))

Từ đây ta có thể suy ra đpcm.

khó hiểu quá bạn ơi