a: Xét tứ giác OMAN có

\(\widehat{OMA}+\widehat{ONA}=90^0+90^0=180^0\)

=>OMAN là tứ giác nội tiếp

=>O,M,A,N cùng thuộc một đường tròn

b: ΔOBN cân tại O

mà OI là đường phân giác

nên OI\(\perp\)BN và OI là đường trung trực của BN

Xét ΔOBI và ΔONI có

OB=ON

\(\widehat{BOI}=\widehat{NOI}\)

OI chung

Do đó: ΔOBI=ΔONI

=>\(\widehat{OBI}=\widehat{ONI}=90^0\)

=>IB là tiếp tuyến của (O)

c: Xét (O) có

AM,AN là tiếp tuyến

=>AM=AN

=>A nằm trên đường trung trực của MN(1)

OM=ON

=>O nằm trên đường trung trực của MN(2)

Từ (1) và (2) suy ra AO là đường trung trực của MN

d: AO là đường trung trực của MN

=>AO cắt MN tại trung điểm của MN

=>K là trung điểm của MN

a) Ta có: \(\angle ABO+\angle ACO=90+90=180\Rightarrow ABOC\) nội tiếp 

Lại có: \(\angle AIO=\angle ABO=90\Rightarrow ABIO\) nội tiếp

\(\Rightarrow A,B,I,O,C\) cùng thuộc 1 đường tròn

\(\Rightarrow ABIC\) nội tiếp 

\(\Rightarrow\angle AIB=\angle ACB=\angle ABC\) (\(\Delta ABC\) cân tại A) \(=\angle AIC\)

\(\Rightarrow IA\) là phân giác \(\angle CIB\)

b) Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ANB:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle ABM=\angle ANB\\\angle NABchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta ABM\sim\Delta ANB\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{AB}{AN}=\dfrac{AM}{AB}\Rightarrow AB^2=AM.AN\)

mà \(AB^2=AH.AO\) (hệ thức lượng) \(\Rightarrow AH.AO=AM.AN\)

\(\Rightarrow\dfrac{AH}{AM}=\dfrac{AN}{AO}\)

Xét \(\Delta AHM\) và \(\Delta ANO:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{AH}{AM}=\dfrac{AN}{AO}\\\angle NAOchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AHM\sim\Delta ANO\left(c-g-c\right)\Rightarrow\angle AHM=\angle ANO\)

\(\Rightarrow MHON\) nội tiếp \(\Rightarrow H\in\left(OMN\right)\)

a: góc OMA+góc ONA=180 độ

=>OMAN nội tiếp

b: OMAN nội tiếp

=>góc AOM=góc ANM

mà góc AOM=góc AOn

nên góc AON=góc ANM

a, Vì AM; AN lần lượt là tiếp tuyến đường tròn (O) với M;N là tiếp điểm 

=> ^AMO = ^ANO = 90⁰

mà AM = AN (tc tiếp tuyến cắt nhau) ; OM = ON = R 

Vậy OA là đường trung trực đoạn MN => OA vuông MN 

Xét tứ giác AMON có 

^AMO + ^ANO = 180⁰

mà 2 góc này đối Vậy tứ giác AMON là tứ giác nt 1 đường tròn 

b, Xét tam giác AMB và tam giác ACM có 

^A _ chung ; ^AMB = ^ACB ( cùng chắn cung BM ) 

Vậy tam giác AMB ~ tam giác ACM (g.g)

\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AB}{AM}\Rightarrow AM^2=AB.AC\)

c, Xét tam giác OMA vuông tại M, đường cao MH 

Ta có \(AM^2=AH.AO\)( hệ thức lượng ) 

=> \(AB.AC=AH.AO\Rightarrow\dfrac{AB}{AO}=\dfrac{AH}{AC}\)

Xét tam giác ABH và tam giác AOC có 

^A _ chung 

\(\dfrac{AB}{AO}=\dfrac{AH}{AC}\left(cmt\right)\)

Vậy tam giác ABH ~ tam giác AOC (c.g.c) 

=> ^ABH = ^AOC ( góc ngoài đỉnh B )

Vậy tứ giác BHOC là tứ giác nt 1 đường tròn 

d, Ta có BHOC nt 1 đường tròn (cmc) 

=> ^OHC = ^OBC (góc nt chắc cung CO) 

=> ^AHB = ^ACO (góc ngoài đỉnh H) 

mà ^OCB = ^OBC do OB = OC = R nên tam giác OBC cân tại O

=> ^OHC = ^AHB 

mà ^CHN = 90⁰ - ^OHC 

^NHB = 90⁰ - ^AHB 

=> ^CHN = ^NHB 

=> HN là phân giác của ^BHC 

a, Ta có AM ; AN lần lượt là tiếp tuyến (O) 

=> ^AMO = ^ANO = 90⁰

Xét tứ giác AMON có ^AMO + ^ANO = 180⁰ 

mà 2 góc này đối 

Vậy tứ giác AMON là tứ giác nt 1 đường tròn 

b, Xét tam giác AMB và tam giác ACM ta có 

^A _ chung ; ^AMB = ^ACM ( cùng chắn BM ) 

Vậy tam giác AMB ~ tam giác ACM (g.g) 

c, Ta có AM = AN ( tc tiếp tuyến cắt nhau ) 

ON = OM = R => OA là đường trung trực đoạn MN 

Xét tam giác AMO vuông tại M, đường cao MH 

=> AM^2 = AH.AO 

=> AB . AC = AH . AO => AB/AO = AH/AC 

Xét tam giác ABH và tam giác AOC có

^A _ chung ; AB/AO = AH/AC (cmt) 

Vậy tam giác ABH ~ tam giác AOC (c.g.c) 

=> ^ABH = ^AOC ( mà ^ABH là góc ngoài đỉnh B ) 

Vậy tứ giác BHOC là tứ giác nt 1 đường tròn 

a: góc AMO+góc ANO=180 độ

=>AMON nội tiếp

b: ΔOBC cân tại O có OI là trung tuyến

nên OI vuông góc BC

Xét (O) có

AM,AN là tiếp tuyến

=>AM=AN

mà OM=ON

nên OA là trung trực của MN

=>OA vuông góc MN tại H

Xét ΔAHK vuông tại H và ΔAIO vuông tại I có

góc HAK chung

=>ΔAHK đồng dạng vớiΔAIO

=>AH/AI=AK/AO

=>AH*AO=AK*AI=AB*AC

95(cm)⇒AH=OA−OH=165" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-table; float:none; font-size:18px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:1px 0px; position:relative; text-align:left; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">95(cm)⇒AH=OA−OH=165

95.165⇒MH=125(cm)" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:18px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:1px 0px; position:relative; text-align:left; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">95.165⇒MH=125(cm)

245(cm)" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:18px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:1px 0px; position:relative; text-align:left; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">245(cm).

a) Tam giác MAN cân tại A có OA là tia phân giác nên nó cũng trùng với đường cao. Vì vậy OA⊥MN.
b) Do AM, AN là hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm nằm ngoài đường tròn nên AO là phân giác góc ^MAN và I là điểm chính giữa của cung MN. Từ đó ta có:

.

⇒ IM là phân giác góc ^NMA.

⇒ I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNA.
c) Nếu tứ giác OMIN là hình thoi thì OM=ON=MI=IN=R.
Suy ra các tam giác OMI, ONI là tam giác đều. Vì vậy ^MON=^MOA+^AON=60o+60o=120o.
Suy ra ^MAN=180o−^MON=60o.
Ngược lại giả sử ^MAN=60o. Suy ra ^MON=180o−^MAN=120o.
Có OA là tia phân giác của góc MON nên ^MOA=^AON=120o:2=60o.
Suy ra các tam giác MOA, AON là tam giác đều hay tứ giác OMIN là hình thoi.

Vậy ^MAN=60o thì tứ giác OMIN là hình thoi.

a) Tam giác MAN cân tại A có OA là tia phân giác nên nó cũng trùng với đường cao. Vì vậy $OA\perp MN$.
b) Do AM, AN là hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm nằm ngoài đường tròn nên AO là phân giác góc \widehat{MAN}MAN và I là điểm chính giữa của cung MN. Từ đó ta có:

\widehat{NMI}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{NI}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{MI}=\widehat{IMA}NMI=21​sđNI⌢=21​sđMI⌢=IMA.

$\Rightarrow$ IM là phân giác góc \widehat{NMA}NMA.

$\Rightarrow$ I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNA.
c) Nếu tứ giác OMIN là hình thoi thì $OM=ON=MI=IN=R$.
Suy ra các tam giác OMI, ONI là tam giác đều. Vì vậy \widehat{MON}=\widehat{MOA}+\widehat{AON}=60^o+60^o=120^oMON=MOA+AON=60o+60o=120o.
Suy ra \widehat{MAN}=180^o-\widehat{MON}=60^oMAN=180o−MON=60o.
Ngược lại giả sử \widehat{MAN}=60^oMAN=60o. Suy ra \widehat{MON}=180^o-\widehat{MAN}=120^oMON=180o−MAN=120o.
Có OA là tia phân giác của góc MON nên \widehat{MOA}=\widehat{AON}=120^o:2=60^oMOA=AON=120o:2=60o.
Suy ra các tam giác MOA, AON là tam giác đều hay tứ giác OMIN là hình thoi.

Vậy \widehat{MAN}=60^oMAN=60o thì tứ giác OMIN là hình thoi.