a)

Tam giác ABD và BCE là tam giác đều nên \(\widehat {EBC} = \widehat {DAB} = 60^\circ \) và A, B, C thẳng hàng. Hai góc EBC và DAB ở vị trí đồng vị nên AD // BE.

Tam giác ABD và BCE là tam giác đều nên \(\widehat {DBA} = \widehat {ECB} = 60^\circ \) và A, B, C thẳng hàng. Hai góc DBA và ECB ở vị trí đồng vị nên BD // CE.

b) Ta có A, B, C thẳng hàng nên góc ABC bằng 180°. Mà \(\widehat {DBA} = \widehat {EBC} = 60^\circ  \Rightarrow \widehat {DBE} = 60^\circ \).

Vậy \(\widehat {ABE} = \widehat {DBC} = 120^\circ \) (\(\widehat {ABE} = \widehat {DBA} + \widehat {DBE};\widehat {DBC} = \widehat {DBE} + \widehat {EBC}\)).

c) Tam giác ABD và BCE là tam giác đều 

\(\Rightarrow AB=AD, BE=BC\)

Xét hai tam giác ABE và DBC có:

     AB = DB;

     \(\widehat {ABE} = \widehat {DBC} = 120^\circ \);

     BE = BC.

\(\Rightarrow \Delta ABE = \Delta DBC\) (c.g.c)

Do đó, AE = DC ( 2 cạnh tương ứng).

\(\widehat{ABC}=120^0\Rightarrow\widehat{DAB}=180^0-120^0=60^0\)

\(\Rightarrow\Delta ABD\) đều

Gọi E là trung điểm AD \(\Rightarrow\overrightarrow{BE}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{BG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BD}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BD}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\right)+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\)

\(=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AD}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AD}\)

Đặt \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{AD}\Rightarrow\left|\overrightarrow{u}\right|^2=\left(-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AD}\right)=\dfrac{4}{9}AB^2+\dfrac{16}{9}AD^2-\dfrac{16}{9}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}\)

\(=\dfrac{4}{9}.4a^2+\dfrac{16}{9}4a^2-\dfrac{16}{9}.2a.2a.cos60^0=\dfrac{16}{3}a^2\)

\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{u}\right|=\dfrac{4a\sqrt{3}}{3}\)

a) bạn xem trong câu hỏi tương tự

b) Lấy N thuộc MB kéo dài sao cho MN = MD => tam giác MND cân tại M có góc DMN = 60^o (theo câu a) => tam giác MND đều 

+) Ta có góc NDB + BDM = góc NDM = 60^o

góc ADM + BDM = góc ADB = 60^o 

=> góc NDB = ADM mà có AD = DB ; DM = DN => tam giác ADM = BDN (c- g- c)

=> góc AMD = DNB = 60^o

=> góc AMB = AMD+ DMB = 60^o + 60^o = 120^o

Nguyễn Ngọc Quý đùa hay thật

Cô Loan trả lời đúng rồi!

Nối NQ. 

Vì NPQM là hình thoi

=> \(\widehat{MQP}=\widehat{MNP}=120^o\)

=> \(\widehat{NQF}=\frac{1}{2}.\widehat{MQP}=60^o\)

Có tam giác NMQ cân tại M  ( NM=MQ)

\(\widehat{MNQ}=\frac{1}{2}\widehat{MNP}=\frac{1}{2}.120=60^o\)

=> Tam giác NMQ đều

Xét tam giác NME và tam giác NQF 

có: NM=NQ  ( tam giác NMQ đều)

    ME =QF ( giả thiết)

   \(\widehat{NME}=\widehat{NQF}=60^o\)

=> Tam giác NME = Tam giác NQF

=> NE =NF => Tam giác NEF cân tại N

và \(\widehat{MNE}=\widehat{QNF}\)=> ^QNF+ ^QNE =^MNE +^QNE =^QNM =60^o

=> \(\widehat{FNE}=60^o\)

=> Tam giác NEF  đều