\(x^2-2x-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1x_2=-1\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x_1+\left(x_2\right)^2\\v=x_2+\left(x_1\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}u+v=\left(x_1+x_2\right)+\left(x_2+x_1\right)^2-2x_1x_2\\uv=2x_1x_2+x_1^3+x_2^3=2x_1x_2+\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u+v=8\\uv=12\end{matrix}\right.\)

=>u và v là nghiệm của pt \(t^2-8t+12=0\)

Giả sử  x 1 ,  x 2  la hai nghiệm của phương trình  x 2 + px + q = 0

Theo hệ thức Vi-ét ta có:  x 1 +  x 2  = - p/1 = - p;  x 1 x 2  = q/1 = q

Phương trình có hai nghiệm là  x 1  +  x 2  và  x 1 x 2  tức là phương trình có hai nghiệm là –p và q.

Hai số -p và q là nghiệm của phương trình.

(x + p)(x - q) = 0 ⇔  x 2  - qx + px - pq = 0 ⇔  x 2  + (p - q)x - pq = 0

Phương trình cần tìm:  x 2  + (p - q)x - pq = 0

 Hai số 1 -  2  và 1 +  2  là nghiệm của phương trình :

[x – (1 -  2  )][x – (1 +  2  )] = 0

⇔ x 2  – (1 +  2  )x – (1 -  2  )x + (1 -  2  )(1 +  2  ) = 0

⇔  x 2  – 2x – 1 = 0

Hai số -1/2 và 3 là nghiệm của phương trình :

(x + 1/2 )(x – 3) = 0 ⇔ 2 x 2  – 5x – 3 = 0

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{5}{3}\\x_1x_2=-2\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}y_1+y_2=2x_1-x_2+2x_2-x_1\\y_1y_2=\left(2x_1-x_2\right)\left(2x_2-x_1\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_1+y_2=x_1+x_2\\y_1y_2=-2x_1^2-2x_2^2+5x_1x_2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_1+y_2=-\dfrac{5}{3}\\y_1y_2=-2\left(x_1+x_2\right)^2+9x_1x_2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_1+y_2=-\dfrac{5}{3}\\y_1y_2=-2.\left(-\dfrac{5}{3}\right)^2+9.\left(-2\right)=-\dfrac{212}{9}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow y_1;y_2\) là nghiệm của:

\(y^2+\dfrac{5}{3}y-\dfrac{212}{9}=0\Leftrightarrow9y^2+10y-212=0\)

Hai số 2 và 5 là nghiệm của phương trình :

(x – 2)(x – 5) = 0 ⇔  x 2  – 7x + 10 = 0

Hai số 0,1 và 0,2 là nghiệm của phương trình :

(x – 0,1)(x – 0,2) = 0 ⇔  x 2  – 0,3x + 0,02 = 0

a: x1+x2=-2; x1x2=-4

x1+x2+2+2=-2+2+2=2

(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4

=-4+2*(-2)+4=-4

Phương trình cần tìm là x^2-2x-4=0

b: \(\dfrac{1}{x_1+1}+\dfrac{1}{x_2+1}=\dfrac{x_1+x_2+2}{\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)}\)

\(=\dfrac{x_1+x_2+2}{x_1x_2+\left(x_1+x_2\right)+1}\)

\(=\dfrac{-2+2}{-4+\left(-2\right)+1}=0\)

\(\dfrac{1}{x_1+1}\cdot\dfrac{1}{x_2+1}=\dfrac{1}{x_1x_2+x_1+x_2+1}=\dfrac{1}{-4-2+1}=\dfrac{-1}{5}\)

Phương trình cần tìm sẽ là; x^2-1/5=0

c: \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=\dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\dfrac{\left(-2\right)^2-2\cdot\left(-4\right)}{-4}=\dfrac{4+8}{-4}=-3\)

x1/x2*x2/x1=1

Phương trình cần tìm sẽ là:

x^2+3x+1=0