Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có \(AB=2\sqrt{3};AA'=2\)
Gọi M và N lần lượt là trung điểm của A'C' và A'B'. Tính \(cos\left(\widehat{\left(AB'C'\right);\left(BCMN\right)}\right)\)
Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm A'A, BC và MN
\(\left\{{}\begin{matrix}MN||B'C'\\DN||AB'\end{matrix}\right.\) (đường trung bình tam giác) \(\Rightarrow\left(AB'C'\right)||\left(DNM\right)\)
\(\Rightarrow\) Góc giữa (AB'C') bằng góc giữa (DNM) và (BCMN)
\(MN\perp A'F\) (A'MN là tam giác đều), và \(A'A\perp\left(A'B'C'\right)\Rightarrow A'A\perp MN\)
\(\Rightarrow MN\perp\left(A'AEF\right)\) \(\Rightarrow\) góc giữa (DNM) và (BCMN) là \(\widehat{DFE}\) nếu nó là góc nhọn và \(180^0-\widehat{DFE}\) nếu nó là góc tù
\(MN=\dfrac{1}{2}B'C'=\sqrt{3}\Rightarrow A'F=\dfrac{MN\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3}{2}\) (trung tuyến tam giác đều)
\(\Rightarrow DF=\sqrt{A'F^2+A'D^2}=\dfrac{\sqrt{13}}{2}\)
\(AE=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=3\Rightarrow DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{10}\)
Gọi G là trung điểm AE \(\Rightarrow FG\perp\left(ABC\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}FG=A'A=2\\GE=\dfrac{1}{2}AE=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)
\(EF=\sqrt{FG^2+EG^2}=\dfrac{5}{2}\)
Áp dụng định lý hàm cos:
\(cos\widehat{DFE}=\dfrac{DF^2+EF^2-DE^2}{2DF.EF}=...\Rightarrow\widehat{DFE}=...\)
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có A B = 2 3 và AA'=2. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh A'B', A'C' và BC. Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AB'C') và (MNP) bằng:
A. 6 13 65
B. 13 65
C. 17 13 65
D. 18 63 65
Cho hình lăng trụ tam giác đều A B C . A ' B ' C ' có A B = 2 3 và AA' = 2 Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh A'B', A'C' và BC. Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AB'C') và (MNP) bằng:
A. 6 13 65 .
B. 13 65 .
C. 17 13 65 .
D. 18 63 65 .
Cho hình lăng trụ tam giác đều A B C . A ' B ' C ' có A B = 2 3 , A A ' = 2 . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh A ' B ' , A ' C ' và BC (tham khảo hình vẽ bên). Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng ( A B ' C ' ) v à ( M N P ) bằng
A. 6 13 65
B. 13 65
C. 17 13 65
D. 18 13 65
Đáp án B
Gọi L là điểm thỏa mãn A P ¯ = 3 P L ¯ và Q là trung điểm B ' C ' thì cosin cần tìm là
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có A B = 2 3 , A A ' = 2 . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh A'B',A'C' và BC (tham khảo hình vẽ bên). Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng ( AB'C' ) và ( MNP ) bằng
A. 6 13 65
B. 13 65
C. 17 13 65
D. 18 13 65
Dùng phương pháp tọa độ hóa.
Đặt hệ trục tọa độ, ở đây như thầy đã trình bày ta nên chọn gốc tại P trục Ox, Oy là PA và PC.
Gọi α góc tạo bởi hai mặt phẳng ( AB'C' ) và (MNP)
Khi đó cos α = n 1 → . n 2 → n 1 → . n 2 → = 13 65
Đáp án cần chọn là B
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB= 2 3 và AA'=2. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh A’B’, A’C’ và BC. Cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AB'C') và (MNP) bằng
Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AC, AA', A' C', BC. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = a\), góc giữa \(SA\) và \(mp\left( {ABC} \right)\) là \({60^ \circ }\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của cạnh \(SA\) và \(SB\). Chứng minh \(MN\parallel \left( {ABC} \right)\) và tính \(d\left( {MN,\left( {ABC} \right)} \right)\).
Kẻ \(SH\perp\left(ABC\right)\) \(\Rightarrow\widehat{SAH}=60^0\)
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông có:
\(tan60^0=\dfrac{SH}{SA}\Leftrightarrow SH=\sqrt{3}a\)
Ta có M và N lần lượt là trung điểm của SA và SB
\(\Rightarrow\) MN là đường trung bình của tam giác ABC
\(\Rightarrow MN//BC\)
mà \(BC\subset\left(ABC\right)\) , \(MN⊄(ABC) \)
\(\Rightarrow MN//\left(ABC\right)\)
\(d\left(MN,\left(ABC\right)\right)=d\left(M,\left(ABC\right)\right)=\dfrac{1}{2}d\left(S,\left(ABC\right)\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.a\)
Vậy \(d\left(MN,\left(ABC\right)\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\)
Chứng minh \(d\left(M,\left(ABC\right)\right)=\dfrac{1}{2}d\left(S,\left(ABC\right)\right)\)
Kẻ \(MK\perp\left(ABC\right)\Rightarrow MK//SH\)
Áp dụng định lý thales: \(\dfrac{MK}{SH}=\dfrac{AM}{AS}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow MK=\dfrac{1}{2}SH\Rightarrow d\left(M,\left(ABC\right)\right)=\dfrac{1}{2}d\left(S,\left(ABC\right)\right)\) (đpcm)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BB', A'C', AA' và H là hình chiếu của C lên AB. Hỏi mặt phẳng (MNP) vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?? A. (AMP) B. (BCB') C. (C'CH) D. (BMH)
