a) Vẽ MP song song với AC và cắt CD tại P

 Ta có: 

 Do đó PN // DC′ // AB′

 Đường thẳng MN thuộc mặt phẳng (MNP) và mặt phẳng này có MP // AC và PN // AB′. Vậy mặt phẳng(MNP) song song với mặt phẳng (ACB’) và do đó MN // (ACB′)

 b) Vì mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng (ACB’) nên hai mặt phẳng đó cắt các mặt bên của hình hộp theo các giao tuyến song song.

 Ta vẽ NQ // CB′, QR // C′A′ ((// CA), RS //AB′ (//PN) và tất nhiên SM // QN. Thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng đi qua MN và song song với mặt phẳng (ACB’) là hình lục giác MPNQRS có các cạnh đối diện song song với nhau từng đôi một: MP // RQ, PN //SR, NQ // MS.

Đáp án C.

+ Trong  mặt phẳng (BB’D’D) gọi I = MO ∩ DD', H = MO ∩ B'D'

Trong  mặt phẳng (DD’C’C) gọi J = NI ∩ DC

Trong  mặt phẳng (ABCD) gọi K = JO ∩ AB

Trong  mặt phẳng (AA’B’B) gọi F = MK ∩ A'B'

Trong  mặt phẳng (A’B’C’D’) gọi E = B'C' ∩ FN=> E = BC ∩ (MNO)

Đáp án C.

+ Trong  mặt phẳng (BB’D’D) gọi I = M O ∩ DD ' , H = M O ∩ B ' D '  

Trong  mặt phẳng (DD’C’C) gọi  J = N I ∩ D C

Trong  mặt phẳng (ABCD) gọi  K = J O ∩ A B

Trong  mặt phẳng (AA’B’B) gọi F = M K ∩ A ' B '  

Trong  mặt phẳng (A’B’C’D’) gọi

E = B ' C ' ∩ F N ⇒ E = B C ∩ ( M N O )  

BO = B’H = OD ⇒ C D H D ' = 1 3  (OD // D’H) ⇒ I D I D ' = O D H D ' = 1 3  

Mà J D / / N D ' ⇒ J D N D ' = I D I D ' = 1 3  

Có  N D ' = N C '  

J D = K B = K B ' ⇒ F B ' C N = 1 3 = B ' E E C = 1 3

Áp dụng định lí Ta-lét đảo, ta có AD, MN, BD’ lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song.

=> M  song song với mặt phẳng (P) chứa BD’ và song song với AD.

Nên MN//(BCD’A’) hayMN//(A’BC).

a) + A’D’ // BC và A’D’ = BC

⇒ A’D’CB là hình bình hành

⇒ A’B // D’C, mà D’C ⊂ (B’D’C) ⇒ A’B // (B’D’C) (1)

+ BB’ // DD’ và BB’ = DD’

⇒ BDD’B’ là hình bình hành

⇒ BD // B’D’, mà B’D’ ⊂ (B’D’C) ⇒ BD // (B’D’C) (2)

A’B ⊂ (BDA’) và BD ⊂ (BDA’); A’B ∩ BD = B (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra : (BDA’) // (B’D’C).

b) Gọi O = AC ∩ BD

+ Ta có: O ∈ AC ⊂ (AA’C’C)

⇒ A’O ⊂ (AA’C’C).

Trong (AA’C’C), gọi A’O ∩ AC’ = G1.

G1 ∈ A’O ⊂ (A’BD)

⇒ G1 ∈ AC’ ∩ (BDA’).

+ Trong hình bình hành AA’C’C gọi I = A’C ∩ AC’

⇒ A’I = IC.

⇒ AI là trung tuyến của ΔA’AC

⇒   G 1   =   A ’ O   ∩   A C ’ là giao của hai trung tuyến AI và A’O của ΔA’AC

⇒   G 1  là trọng tâm ΔA’AC

⇒   A ’ G 1   =   2 . A ’ O / 3

⇒   G 1  cũng là trọng tâm ΔA’BD.

Vậy AC' đi qua trọng tâm G 1  của ΔA’BD.

Chứng minh tương tự đối với điểm G 2 .

c) *Vì G 1  là trọng tâm của ΔAA’C nên A G 1 / A I   =   2 / 3 .

Vì I là trung điểm của AC’ nên AI = 1/2.AC’

Từ các kết quả này, ta có : A G 1   =   1 / 3 . A C ’

*Chứng minh tương tự ta có : C ’ G 2   =   1 / 3 . A C ’

Suy ra : A G 1   =   G 1 G 2   =   G 2 C ’   =   1 / 3 . A C ’ .

d) (A’IO) chính là mp (AA’C’C) nên thiết diện cần tìm chính là hình bình hành AA’C’C.

a) Ta có: N là trung điểm của AA’ nên \(\frac{{AN}}{{AA'}} = \frac{1}{2}\)

Q là trung điểm của AD’ nên \(\frac{{AQ}}{{AD'}} = \frac{1}{2}\)

Theo định lý Ta – let, ta có NQ // A’D’

Suy ra \(\frac{{NQ}}{{A'D'}} = \frac{{AN}}{{AA'}} = \frac{1}{2}\) nên\(NQ = \frac{1}{2}A'D'\)

b) Ta có: NQ // A’D’ mà A’D’ // BC nên NQ // BC hay NQ // MC (1)

Ta có \(NQ = \frac{1}{2}A'D'\) mà A’D’ = BC, \(MC = \frac{1}{2}BC\), nên NQ = MC (2)

Từ (1) và (2) suy ra MNQC là hình bình hành

c) Ta có: MNQC là hình bình hành nên MN // CQ

Mà CQ thuộc (ACD’)

Nên MN // (ACD’)

d) Gọi O là trung điểm của AC

Tam giác ACB có: O, M là trung điểm của AC, BC

Suy ra: OM // AB nên \(OM = \frac{1}{2}AB\)

Mà AB = C’D’, \(D'P = \frac{1}{2}C'D\),

Suy ra OM = D’P (1)

Ta có: OM // AB, AB // C’D’ nên OM // C’D‘ hay OM // D’P (2)

Từ (1) và (2) suy ra OMPD’ là hình bình hành. Do đó: MP // OD’

Mà OD’ thuộc (ACD’)

Suy ra: MP // (ACD’)

Mà MN thuộc (ACD’)

Do đó: (MNP) // (ACD’)

Đáp án C