Với n = 1 thì \(x^1\ge2.x^0=0\)

Giả sử đẳng thức đúng với n = k nghĩa là : \(x^k\ge\left(k+1\right).x^{k-1}\).

Ta phải chứng minh :

\(x^n\ge\left(n+1\right).x^{n-1}\)đúng với n = k + 1. Ta phải chứng minh \(x^{k+1}\ge\left[\left(k+1\right)+1\right].x^{\left(k-1\right)+1}=\left(k+2\right).x^k\)

\(=\left(x^k.k+2x^k+1\right)-1=\left(x^k+1\right)^2-1\le x^{k+1}\)

Vậy đẳng thức luôn đúng với mọi \(n\inℕ^∗\)

\(=n\left(2n^2-2n-n+1\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(2n-1\right)\)

TH1: n=3k

\(A=3k\left(3k-1\right)\left(6k-1\right)⋮3\)

mà A luôn chia hết cho 2(do n;n-1 là hai số liên tiếp)

nên A chia hết cho 6

TH2: n=3k+1

\(A=\left(3k+1\right)\left(3k+1-1\right)\left(6k+2-1\right)\)

\(=\left(3k+1\right)\left(3k\right)\cdot\left(6k+1\right)⋮3\)

=>A chia hết cho 6

TH3: n=3k+2

\(A=\left(3k+2\right)\left(3k+1\right)\left(6k+4-1\right)\)

\(=\left(3k+2\right)\left(3k+1\right)\left(6k+3\right)⋮6\)

a)n = 1 ⇒ 31 = 3 < 8 = 8.1

n = 2 ⇒ 32 = 9 < 16 = 8.2

n = 3 ⇒ 33 = 27 > 24 = 8.3

n = 4 ⇒ 34 = 81 > 32 = 8.4

n = 5 ⇒ 35 = 243 > 40 = 8.5

b) Dự đoán kết quả tổng quát: 3n > 8n với mọi n ≥ 3

- n = 3, bất đẳng thức đúng

- Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 3, nghĩa là:

3k > 8k

Ta phải chứng minh rằng bất đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là:

3(k + 1) > 8(k + 1)

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

3(k + 1) = 3k.3 > 8k.3 = 24k = 8k + 16k

k ≥ 3 ⇒ 16k ≥ 16.3 = 48 > 8

Suy ra: 3(k + 1) > 8k + 8 = 8(k + 1)

Vậy bất đẳng thức đúng với mọi n ≥ 3