Lời giải:
a.  ĐKXĐ: $x>0; x\neq 1$

\(P=\left[\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}+\frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}\right].\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}\)

\(=\frac{x+\sqrt{x}+\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}.\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}+2}=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}.\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}+2}=\frac{x}{\sqrt{x}-1}\)

b.

$P>2 \Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{x}-1}-2>0$

$\Leftrightarrow \frac{x-2\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1}>0$

$\Leftrightarrow \frac{(\sqrt{x}-1)^2+1}{\sqrt{x}-1}>0$

$\Leftrightarrow \sqrt{x}-1>0$ (do $(\sqrt{x}-1)^2+1>0$)

$\Leftrightarrow x>1$

Kết hợp đkxđ suy ra $x>1$
c. 

$\frac{1}{P}=\frac{\sqrt{x}-1}{x}$

Áp dụng BĐT Cô-si:

$x+4\geq 4\sqrt{x}\Rightarrow x\geq 4(\sqrt{x}-1)$
$\Rightarrow \frac{\sqrt{x}-1}{x}\leq \frac{\sqrt{x}-1}{4(\sqrt{x}-1)}=\frac{1}{4}$

Vậy $\frac{1}{P}$ max $=\frac{1}{4}$ khi $x=4$

a: ΔABC vuông tại A

=>\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)

=>\(\widehat{ACB}=30^0\)

Xét ΔABC vuông tại A có \(sinC=\dfrac{AB}{BC}\)

=>\(\dfrac{4}{BC}=sin30=\dfrac{1}{2}\)

=>BC=8(cm)

\(AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=4\sqrt{3}\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên AH*BC=AB*AC

=>\(AH\cdot8=4\cdot4\sqrt{3}=16\sqrt{3}\)

=>\(AH=2\sqrt{3}\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot CB\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH=\dfrac{4^2}{8}=2\left(cm\right)\\CH=\dfrac{48}{8}=6\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

b: \(BC\cdot sinB\cdot sinC\)

\(=BC\cdot\dfrac{AC}{BC}\cdot\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=AH\)

\(BC\cdot cos^2B\)

\(=BC\cdot\left(\dfrac{AB}{BC}\right)^2=\dfrac{AB^2}{BC}=BH\)

\(BC\cdot sin^2B=BC\cdot\left(\dfrac{AC}{BC}\right)^2=\dfrac{AC^2}{BC}=CH\)

c:

\(\dfrac{AH^2}{AC^2}=\dfrac{HB\cdot HC}{BC\cdot HC}=\dfrac{HB}{BC}\)

ΔHAB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(\left\{{}\begin{matrix}BD\cdot BA=BH^2\\AD\cdot AB=AH^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}BD=\dfrac{BH^2}{AB}\\AD=\dfrac{AH^2}{AB}\end{matrix}\right.\)

ΔHAC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(\left\{{}\begin{matrix}CE\cdot CA=CH^2\\AE\cdot AC=AH^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}CE=\dfrac{CH^2}{AC}\\AE=\dfrac{AH^2}{AC}\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{DB}{EC}=\dfrac{HB^2}{AB}:\dfrac{HC^2}{AC}\)

\(=\dfrac{HB^2}{AB}\cdot\dfrac{AC}{HC^2}\)

\(=\left(\dfrac{HB}{HC}\right)^2\cdot\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AC}{AB}\cdot\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^4=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^3\)

\(BD\cdot CE\cdot BC\)

\(=\dfrac{BH^2}{AB}\cdot\dfrac{CH^2}{AC}\cdot BC\)

\(=\dfrac{AH^4}{AH}=AH^3\)

=DE³

\(BC\cdot HD\cdot HE\)

\(=BC\cdot\dfrac{HA\cdot HB}{AB}\cdot\dfrac{HA\cdot HC}{AC}\)

\(=\dfrac{1}{AH}\cdot\dfrac{HA^2\cdot HB\cdot HC}{1}=\dfrac{HA\cdot HB\cdot HC}{1}=HA^3\)

\(=DE^3\)

=>ĐPCM

C2 cug cơ bản tự làm nhee

Câu 1:

\(n_{Ca\left(OH\right)_2}=1,8.0,05=0,09\left(mol\right)\)

BTNT Ca, có: \(n_{CaCO_3}=n_{Ca\left(OH\right)_2}=0,09\left(mol\right)\)

Mà: m_CaCO3 + m_BaCO3 = 18,85 (g)

\(\Rightarrow n_{BaCO_3}=\dfrac{18,85-0,09.100}{197}=0,05\left(mol\right)\)

BTNT C, có: n_CO2 = n_CaCO3 + n_BaCO3 = 0,14 (mol) = n_C

Sau pư với Ca(OH)₂ có: \(\left\{{}\begin{matrix}n_{CaCO_3}+2n_{Ca\left(HCO_3\right)_2}=0,14\\n_{CaCO_3}+n_{Ca\left(HCO_3\right)_2}=0,09\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n_{CaCO_3}=0,04\left(mol\right)\\n_{Ca\left(HCO_3\right)_2}=0,05\left(mol\right)\end{matrix}\right.\)

Có: m _{dd tăng} = m_CO2 + m_H2O - m _{kết tủa}

⇒ 3,78 = 0,14.44 + 18n_H2O - 0,04.100 ⇒ n_H2O = 0,09 (mol)

⇒ n_H = 0,09.2 = 0,18 (mol)

\(\Rightarrow n_N=\dfrac{2,14-0,14.12-0,18.1}{14}=0,02\left(mol\right)\)

Gọi: CTPT của A là C_xH_yN_t

⇒ x:y:t = 0,14:0,18:0,02 = 7:9:1

Vậy: CTĐGN của A là C₇H₉N.

Câu 2:

X gồm C, H và N, có thể có O.

Ta có: \(n_{CO_2}=\dfrac{4,48}{22,4}=0,2\left(mol\right)=n_C\)

\(\Rightarrow\%m_C=\dfrac{0,2.12}{7,7}.100\%\approx31,2\%\)

⇒ %m_O = 100 - 31,2 - 9,09 - 18,18 = 41,53%

→ X gồm: C, H, O và N.

Gọi CTPT của X là C_xH_yO_zN_t.

⇒ x:y:z:t = \(\dfrac{31,2}{12}:\dfrac{9,09}{1}:\dfrac{41,53}{16}:\dfrac{18,18}{14}=2:7:2:1\)

→ X có CTPT dạng: (C₂H₇O₂N)_n.

Mà: M_X < 78 \(\Rightarrow\left(12.2+7+16.2+14\right)n< 78\)

\(\Rightarrow n< 1,01\) ⇒ n = 1

Vậy: X là C₂H₇O₂N.

Bài 2:

a: (d)//y=-2x+3 nên \(\left\{{}\begin{matrix}a=-2\\b\ne3\end{matrix}\right.\)

vậy: (d): y=-2x+b

Thay x=-1 và y=1 vào (d), ta được:

\(b+\left(-2\right)\cdot\left(-1\right)=1\)

=>b+2=1

=>b=-1

Vậy: (d): y=-2x-1

b: Thay x=0 và y=1 vào (d), ta được:

\(0\cdot a+b=1\)

=>b+0=1

=>b=1

Vậy: (d): y=ax+1

Thay x=-3 và y=0 vào (d), ta được:

\(-3\cdot a+1=0\)

=>-3a=-1

=>\(a=\dfrac{1}{3}\)

Vậy: (d): \(y=\dfrac{1}{3}x+1\)

Bài 1:

a: Vì (d)//y=-3x+1 nên a=-3 và b<>1

vậy: (d): y=-3x+b

Thay x=1/3 và y=-1 vào (d), ta được:

\(b-3\cdot\dfrac{1}{3}=-1\)

=>b-1=-1

=>b=0

vậy: (d): y=-3x

b: Thay x=2 và y=0 vào (d), ta được:

\(a\cdot2+b=0\)

=>2a+b=0(1)

Thay x=-1 và y=4 vào (d), ta được:

\(a\cdot\left(-1\right)+b=4\)

=>-a+b=4(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}2a+b=0\\-a+b=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a=-4\\2a+b=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}a=-\dfrac{4}{3}\\b=-2a=-2\cdot\dfrac{-4}{3}=\dfrac{8}{3}\end{matrix}\right.\)

Vậy: (d): \(y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{8}{3}\)

Bài 1:

a: Ta có: AH\(\perp\)BM

OB\(\perp\)BM

Do đó: AH//OB

Ta có: BH\(\perp\)AM

OA\(\perp\)AM

Do đó: BH//OA

Xét tứ giác OAHB có

OA//HB

OB//HA

Do đó: OAHB là hình bình hành

Hình bình hành OAHB có OA=OB

nên OAHB là hình thoi

b: Xét ΔOAM vuông tại A có \(sinAMO=\dfrac{OA}{OM}=\dfrac{1}{2}\)

nên \(\widehat{AMO}=30^0\)

Xét (O) có

MA,MB là tiếp tuyến

Do đó: MO là phân giác của góc AMB

=>\(\widehat{AMB}=2\cdot\widehat{AMO}=2\cdot30^0=60^0\)

Bài 2:

a: Xét tứ giác CAOD có

\(\widehat{CAO}+\widehat{CDO}=90^0+90^0=180^0\)

=>CAOD là tứ giác nội tiếp

=>C,A,O,D cùng thuộc một đường tròn

b: Ta có: ΔCAO vuông tại A

=>\(CO^2=CA^2+AO^2\)

=>\(CO^2=\left(2R\right)^2+R^2=5R^2\)

=>\(CO=R\sqrt{5}\)

Xét ΔCAO vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot CO=AO\cdot AC\)

=>\(AH\cdot R\sqrt{5}=R\cdot2R=2R^2\)

=>\(AH=\dfrac{2R^2}{R\sqrt{5}}=\dfrac{2R}{\sqrt{5}}\)

Xét (O) có

CA,CD là tiếp tuyến

Do đó: CA=CD

=>C nằm trên đường trung trực của AD(1)

ta có: OA=OD

=>O nằm trên đường trung trực của AD(2)

Từ (1) và (2) suy ra OC là đường trung trực của AD

=>OC\(\perp\)AD tại H và H là trung điểm của AD

=>\(AD=2\cdot AH=\dfrac{4R}{\sqrt{5}}\)