Cho (O) và dây BC cố định không đi qua O. Lấy điểm A di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn, AO cắt BC tại H. Kẻ tiếp tuyến d của (O) tại A. Hai đường vuông góc với BC tại B và C cắt (O) lần lượt tại D và E, cắt d lần lượt tại F và G.
a) Chứng minh tứ giác FAHB nội tiếp. Tứ giác DECB là hình gì?
b) Chứng minh đẳng thức: \(AF^2+AG^2=FD.FB+GE.GC\)
c) Gọi I là giao điểm của CD và HF, J là giao điểm của BE và HG. Chứng minh O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HIJ.
d) Chứng minh ba đường HA, FJ, GI cùng đi qua một điểm. Giả sử điểm đồng quy ấy là M. Điểm M ấy chạy trên đường nào khi A chuyển động thỏa mãn các điều kiện ban đầu?