Cho đẳng thức
\(x.\left(x+1\right).\left(x+2\right).\left(x+3\right)...\left(x+2016\right)=2016.\)
Chứng tỏ rằng x < \(\frac{1}{2015!}\)
Cho đẳng thức: \(x.\left(x+1\right).\left(x+2\right).\left(x+3\right).....\left(x+2016\right)=2016\) (với\(x>0\) )
Chứng tỏ rằng: \(x< \frac{1}{2015!}\)
a) Cho x,y thỏa mãn đẳng thức \(\left(x+\sqrt{x^2+2016}\right)\left(y+\sqrt{y^2+2016}\right)=2016\).Tính x+y
b) Cho x,y thỏa mãn đẳng thức\(\left(\sqrt{x^2+2017}-x\right)\left(\sqrt{y^2+2017}-y\right)=2017\).Tính x+y
cho các số x,y thỏa mãn đẳng thức \(3x^2+3y^2+4xy+2x-2y+2=0\\ \)
tính giá trị biểu thức M=\(\left(x+y\right)^{2016}+\left(x+2\right)^{2017}+\left(y-1\right)^{2018}\)
Ta có: \(3x^2+3y^2+4xy+2x-2y+2=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+2x+1+y^2-2y+1+2x^2+4xy+2y^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2+\left(y-1\right)^2+2\left(x^2+2xy+y^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2+\left(y-1\right)^2+2\left(x+y\right)^2=0\)
Ta có: \(\left(x+1\right)^2\ge0\forall x\)
\(\left(y-1\right)^2\ge0\forall y\)
\(2\left(x+y\right)^2\ge0\forall x,y\)
Do đó: \(\left(x+1\right)^2+\left(y-1\right)^2+2\left(x+y\right)^2\ge0\forall x,y\)
Dấu '=' xảy ra khi
\(\left\{{}\begin{matrix}x+1=0\\y-1=0\\x+y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=1\\-1+1=0\left(đúng\right)\end{matrix}\right.\)
Thay x=-1 và y=1 vào biểu thức \(M=\left(x+y\right)^{2016}+\left(x+2\right)^{2017}+\left(y-1\right)^{2018}\), ta được:
\(M=\left(-1+1\right)^{2016}+\left(-1+2\right)^{2017}+\left(1-1\right)^{2018}\)
\(=0^{2016}+1^{2017}+0^{2018}=1\)
Vậy: M=1
Cho hai biểu thức: \(P\left(x\right)=x^5-2x^3+x^4-3x^2+10x-\frac{3}{2}\)
và \(Q\left(x\right)=x^4+x^5-2.\left(x^3-\frac{1}{4}\right)-4x^2+8x\)
a) Tìm \(H\left(x\right)\) sao cho \(P\left(x\right)=H\left(x\right)+Q\left(x\right)\)
b) Chứng tỏ rằng biểu thức \(H\left(x\right)\) không nhận giá trị 2016 với mọi giá trị nguyên của x
Tìm x biết\(\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}+\frac{1}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}+...+\frac{1}{\left(x+2015\right)\left(x+2016\right)}=\frac{1}{x+2016}\)
\(\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}+\frac{1}{\left(x+\right)\left(x+3\right)}+...+\frac{1}{\left(x+2015\right)\left(x+2016\right)}=\frac{1}{x+2016}\)
\(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}+...+\frac{1}{x+2015}-\frac{1}{x+2016}=\frac{1}{x+2016}\)
\(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2016}=\frac{1}{x+2016}\)
\(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2016}-\frac{1}{x+2016}=0\)
\(\frac{1}{x}-\frac{2x}{x+2016}=0\)
\(\frac{x+2016}{x\left(x+2016\right)}-\frac{2x}{x\left(x+2016\right)}=0\)
\(\frac{x+2016-2x}{x\left(x+2016\right)}=0\Leftrightarrow2016-x=0\Leftrightarrow x=2016\)
Cho a,b,c >0; biết \(\hept{\begin{cases}a^2=b+4032\\x+y+z=a\\x^2+y^2+z^2=b\end{cases}}\)
\(P=x\sqrt{\frac{\left(2016+y^2\right)\left(2016+z^2\right)}{2016+x^2}}+y\sqrt{\frac{\left(2016+z^2\right)\left(2016+x^2\right)}{\left(2016+y^2\right)}}+z\sqrt{\frac{\left(2016+x^2\right)\left(2016+y^2\right)}{\left(2016+z^2\right)}}\)
Chứng minh giá trị của P không phụ thuộc vào x,y,z
Bạn thêm điều kiện x,y,z lớn hơn 0 nhé :)
Từ giả thiết ta suy ra : \(a^2=b+4032\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+4032\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx=2016\)thay vào :
\(x\sqrt{\frac{\left(2016+y^2\right)\left(2016+z^2\right)}{2016+x^2}}=x\sqrt{\frac{\left(y^2+xy+yz+zx\right)\left(z^2+xy+yz+zx\right)}{x^2+xy+yz+zx}}\)
\(=x\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+y\right)\left(z+x\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}=x\left|y+z\right|=xy+xz\)vì x,y,z > 0
Tương tự : \(y\sqrt{\frac{\left(2016+z^2\right)\left(2016+x^2\right)}{2016+y^2}}=xy+zy\)
\(z\sqrt{\frac{\left(2016+x^2\right)\left(2016+y^2\right)}{2016+z^2}}=zx+zy\)
Suy ra \(P=2\left(xy+yz+zx\right)=2.2016=4032\)
1.Chứng tỏ các đa thức sau không phụ thuộc vào biến x
a)\(x\cdot\left(2x+1\right)-x^2\left(x\cdot2\right)+\left(x^3-x+3\right)\)
b)\(4\cdot\left(x-6\right)-x^2\left(2+3x\right)+x\left(5x-4\right)+3x^2\left(x-1\right)\)
2.Chứng minh đẳng thức sau :
a)\(a\left(b-c\right)-b\left(a+c\right)+c\left(a-b\right)=-2bc\)
b)\(a\left(1-b\right)+a\left(a^2-1\right)=a\left(a^2-b\right)\)
câu 2:
a(b-c)-b(a+c)+c(a-b)=-2bc
ta có:
a( b-c ) - b ( a +c )+ c(a-b)
=ab-ac-(ba+bc)+(ca-cb)
=ab-ac-ba-bc+ca-cb
=ab-ba-ac+ca-bc-cb
=0-0-bc-cb
=bc+(-cb)
=-2cb hay -2bc
b)a(1-b)+a(a^2-1)=a(a^2-b)
Ta có:
a(1-b) + a(a^2-1)
=a-ab+(a^3-a)
=a-ab+a^3-a
=a-a-ab+a^3
=0-ab+a^3
=-ab+a^3
=a(-b +a^2) hay a(a^2-b)
Tìm GTNN của các biểu thức :
a ) \(A=\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+2016\)
b ) \(B=\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+\left|x-3\right|\)
a) \(A=\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+2016\)
\(=\left|x-1\right|+\left|2-x\right|+2016\)
Áp dụng bđt \(\left|A\right|+\left|B\right|\ge\left|A+B\right|\) ta có:
\(\left|x-1\right|+\left|2-x\right|\ge\left|x-1+2-x\right|=1\)
=> \(\left|x-1\right|+\left|2-x\right|+2016\ge1+2016=2017\)
Vậy GTNN của A là 2017 khi \(\begin{cases}x-1\ge0\\2-x\ge0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x\ge1\\x\le2\end{cases}\)\(\Leftrightarrow1\le x\le2\)
b) \(B=\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+\left|x-3\right|\)
Có: \(\left|x-1\right|+\left|x-3\right|=\left|x-1\right|+\left|3-x\right|\ge\left|x-1+3-x\right|=2\) (1)
Ta lại có: \(\left|x-2\right|\ge0\) (2)
Từ (1)(2) suy ra: \(B\ge2\)
Vậy GTNN của B là 1 khi \(\begin{cases}x-1\ge0\\3-x\ge0\\x=2\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x\ge1\\x\le3\\x=2\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}1\le x\le3\\x=2\end{cases}\)\(\Leftrightarrow x=2\)
Tìm GTNN của các biểu thức :
a ) \(A=\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+2016\)
b ) \(B=\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+\left|x-3\right|\)
a) Ta có:
\(\left|x-1\right|+\left|x-2\right|=\left|x-1\right|+\left|2-x\right|\)
\(\Rightarrow\left|x-1\right|+\left|x-2\right|\ge\left|x-1+2-x\right|\)
\(\Rightarrow\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+2016\ge\left|x-1+2-x\right|+2016\)
hay \(A\ge\left|1\right|+2016=1+2016=2017\)
=> \(A\ge2017\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left[\begin{matrix}x-1=0\\x-2=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[\begin{matrix}x=1\\x=2\end{matrix}\right.\)
Vậy với \(x\in\left\{1;2\right\}\) thì A đạt GTNN và A=2017.
b) Ta có:
\(\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+\left|x-3\right|=\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+\left|3-x\right|\)
hay \(B=\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+\left|3-x\right|\ge\left|x-1+x-2+3-x\right|\)
\(\Rightarrow B\ge\left|x\right|\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left[\begin{matrix}x-1=0\\x-2=0\\x-3=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[\begin{matrix}x=1\\x=2\\x=3\end{matrix}\right.\) (1)
Để B nhỏ nhất
=> |x| phải nhỏ nhất (2)
Từ (1) và (2)
=> x=1
khi đó:
B=|x|=|1|=1
Vậy với x=1 thì B đạt GTNN và B=1.
gtnn a là 2017 khi x=1 hoặc x=2
gtln b là 2 khi x=2