a: Xét ΔABC có AB<AC

mà BH là hình chiếu của AB trên BC

và CH là hình chiếu của AC trên BC

nên HB<HC

Ta có:AB<AC

nên \(\widehat{B}>\widehat{C}\)

hay \(\widehat{BAH}< \widehat{CAH}\)

b: Ta có: \(\widehat{BAD}+\widehat{CAD}=90^0\)

\(\widehat{BDA}+\widehat{HAD}=90^0\)

mà \(\widehat{CAD}=\widehat{HAD}\)

nên \(\widehat{BAD}=\widehat{BDA}\)

hay ΔBDA cân tại B

a/

\(AH^2=HB.HC\) (trong tg vuông bình phương đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền bằng tích các hình chiếu của 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền)

\(\Rightarrow AH=\sqrt{HB.HC}=\sqrt{4.9}=6cm\)

\(\tan\widehat{ABC}=\dfrac{AH}{HB}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}\)

b/

Xét tg vuông AHB có

\(HB^2=BD.AB\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

Xét tg vuông AHC có

\(HC^2=CE.AC\) (lý do như trên)

\(CE.BD.AC.AB=HB^2.HC^2=\left(HB.HC\right)^2\)

Mà \(HB.HC=AH^2\) (cmt)

\(\Rightarrow CE.BD.AC.AB=AH^4\)

c/

\(HD\perp AB;AC\perp AB\) => HD//AC => HD//AE

\(HE\perp AC;AB\perp AC\) => HE//AB => HE//AD

=> ADHE là hình bình hành mà \(\widehat{A}=90^o\) => ADHE là HCN

Xét tg vuông ADH và tg vuông ADE có

HD = AE (cạnh đối HCN)

AD chung

=> tg ADH = tg ADE (Hai tg vuông có 2 cạnh góc vuông = nhau)

\(\Rightarrow\widehat{AED}=\widehat{AHD}\) 

\(\widehat{AHD}=\widehat{B}\) (cùng phụ với \(\widehat{BAH}\) ) 

\(\Rightarrow\widehat{AED}=\widehat{B}\) (1)

\(\widehat{C}+\widehat{B}=90^o\) (2)

\(\widehat{IAE}+\widehat{AED}=90^o\Rightarrow\widehat{IAE}+\widehat{B}=90^o\)  (3)

Từ (2) và (3) => \(\widehat{IAE}=\widehat{C}\) => tg AIC cân tại I => IA=IC

Ta có

\(\widehat{IAE}+\widehat{BAI}=\widehat{A}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{C}+\widehat{BAI}=90^o\) mà \(\widehat{C}+\widehat{B}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BAI}=\widehat{B}\) => tg ABI cân tại I => IA=IB

Mà IA= IC (cmt)

=> IB=IC => I là trung điểm của BC

\(X\text{ét}\Delta BDM\)có \(\widehat{BMD}+\widehat{BDM}+\widehat{DMB=180}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{BMD}+90+60=180\)

\(\Rightarrow\widehat{BMD}=30\)

Tương tự vs tg EMC có  EMC=30

\(X\text{ét}\widehat{DME}=180-\left(\widehat{BMD}+\widehat{EMC}\right)=180-30-30=120\)

a:

góc ADH=góc AEH=góc DAE=90 độ

=>ADHE là hình chữ nhật

góc OAC+góc AED=90 độ

=>góc OAC+góc AHD=90 độ

=>góc OAC+góc ABC=90 độ

=>góc OAC=góc OCA

=>OA=OC và góc OBA=góc OAB

=>OA=OB=OC

=>O là trung điểm của BC

b: góc KAB+góc OAB=90 độ

gócHAB+góc OBA=90 độ

mà góc OAB=góc OBA

nên góc KAB=góc HAB

=>AB là phân giác của góc HAK

c: ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên AB^2=BH*BC