Ta có P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1

                 = 3x + 4x - 3x +1

                 =       4x + 1

Cho 4x + 1 =0

       4x       = -1

         x       =  -1/4 = -0,25

Vậy P(x )= x3 + 2x2 - 3x + 1 có duy nhất một nghiệm nguyên là -0,25

- Xét hàm số   f ( x )   = x 3 + x - 1 , ta có f(0) = -1 và f(1) = 1 nên: f(0).f(1) < 0.

- Mặt khác:    f ( x )   = x 3 + x - 1  là hàm đa thức nên liên tục trên [0;1].

- Suy ra    f ( x )   = x 3 + x - 1 đồng biến trên R nên phương trình    x 3 + x - 1 = 0 có nghiệm duy nhất  x 0   ∈   ( 0 ; 1 ) .

- Theo bất đẳng thức Côsi:

Bài 1:
1. 

$6x^3-2x^2=0$

$2x^2(3x-1)=0$

$\Rightarrow 2x^2=0$ hoặc $3x-1=0$

$\Rightarrow x=0$ hoặc $x=\frac{1}{3}$
Đây chính là 2 nghiệm của đa thức

2.

$|3x+7|\geq 0$

$|2x^2-2|\geq 0$

Để tổng 2 số bằng $0$ thì: $|3x+7|=|2x^2-2|=0$

$\Rightarrow x=\frac{-7}{3}$ và $x=\pm 1$ (vô lý) 

Vậy đa thức vô nghiệm.

Bài 2:

1. $x^2+2x+4=(x^2+2x+1)+3=(x+1)^2+3$

Do $(x+1)^2\geq 0$ với mọi $x$ nên $x^2+2x+4=(x+1)^2+3\geq 3>0$ với mọi $x$
$\Rightarrow x^2+2x+4\neq 0$ với mọi $x$

Do đó đa thức vô nghiệm

2.

$3x^2-x+5=2x^2+(x^2-x+\frac{1}{4})+\frac{19}{4}$

$=2x^2+(x-\frac{1}{2})^2+\frac{19}{4}\geq 0+0+\frac{19}{4}>0$ với mọi $x$

Vậy đa thức khác 0 với mọi $x$

Do đó đa thức không có nghiệm.

Bài 3:

$f(0)=a.0^3+b.0^2+c.0+d=d=5$

$f(1)=a+b+c+d=4$

$a+b+c=4-d=-1(*)$
$f(2)=8a+4b+2c+d=31$

$8a+4b+2c=31-d=26$

$4a+2b+c=13(**)$
$f(3)=27a+9b+3c+d=88$
$27a+9b+3c=88-d=83(***)$

Từ $(*); (**); (***)$ suy ra $a=\frac{1}{3}; b=13; c=\frac{-43}{3}$

Vậy.......

f(x)=0

=>x^3-1=0

=>x^3=1

=>x=1

- Dễ dàng nhận thấy \(x=-1\) không phải là 1 nghiệm của đa thức P(x).

- Gọi b là 1 nghiệm của đa thức \(P\left(x\right)=x^3+3x^2-1\)

Do đó: \(b^3+3b^2-1=0\)

\(\Rightarrow\left(b^3+3b^2+3b+1\right)-3\left(b+1\right)+1=0\)

\(\Rightarrow\left(b+1\right)^3-3\left(b+1\right)+1=0\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(b+1\right)^3-3\left(b+1\right)+1}{\left(b+1\right)^3}=0\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{1}{b+1}\right)^3-3.\left(\dfrac{1}{b+1}\right)^2+1=0\)

\(\Rightarrow\left(-\dfrac{1}{b+1}\right)^3+3.\left(-\dfrac{1}{b+1}\right)^2-1=0\)

Thay \(x=-\dfrac{1}{b+1}\) vào \(P\left(x\right)=x^3+3x^2-1\) ta được:

\(P\left(-\dfrac{1}{b+1}\right)=\left(-\dfrac{1}{b+1}\right)^3+3.\left(-\dfrac{1}{b+1}\right)^2-1=0\)

\(\Rightarrow-\dfrac{1}{b+1}\) là một nghiệm của đa thức P(x).

Đặt \(a=-\dfrac{1}{b+1}\Rightarrow ab+a+1=0\) \(\Rightarrowđpcm\)

a: \(F\left(x\right)=x^3+2x^2+3x+4\)

\(G\left(x\right)=x^3-x^2+3x+1\)

b: \(F\left(x\right)+G\left(x\right)=2x^3+x^2+6x+5\)

\(F\left(x\right)-G\left(x\right)=3x^2+3\)

f(x)=x³ +2x²+3x+4

g(x)=x³ trừ x²+3x+1

a)

F(x)=x3+2x2+3x+4F(x)=x3+2x2+3x+4

G(x)=x3−x2+3x+1

b)

F(x)+G(x)=2x3+x2+6x+5F(x)+G(x)=2x3+x2+6x+5

F(x)−G(x)=3x2+3

a: A=x^3-2x^2+5x-1

B=x^3-3x^2+3x-2

P=A+B=2x^3-5x^2+8x-3

Q=A-B=x^2+2x+1

b: Bậc của P lớn hơn Q

c: Q(-1)=(-1)^2+2*(-1)+1=0

=>x=-1 là nghiệm của Q