Đáp án B

Đáp án B

Ta có:   2 B H 2 = a 3 2 ⇒ B H 2 = 3 a 2 2

S H = S B 2 − B H 2 = 2 a 2 − 3 a 2 2 = a 2  

Thể tích khối chóp S.ABCD là:

V = 1 3 . S H . S A B C D = 1 3 . a 2 . a 3 2 = a 3 2

a.

Do AD song song BC nên góc giữa SD và BC là góc giữa SD và AD, cùng là góc \(\widehat{SDA}\)

Áp dụng định lý hàm cosin:

\(cos\widehat{SDA}=\dfrac{SD^2+AD^2-SA^2}{2SD.AD}=\dfrac{1}{8}\)

\(\Rightarrow\widehat{SDA}=82^049'\)

b.

Do chóp có các cạnh bên bằng nhau và đáy là hình vuông nên chóp là chóp đều

Gọi O là tâm đáy \(\Rightarrow AC\perp BD\) tại O và \(SO\perp\left(ABCD\right)\)

\(\Rightarrow\Delta OCD\) là hình chiếu vuông góc của tam giác SCD lên (ABCD)

\(OC=OD=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}\sqrt{2AB^2}=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow S_{OCD}=\dfrac{1}{2}OC.OD=a^2\)

a.

Do AB song song DC nên góc giữa SC và AB là góc giữa SC và CD, cùng là góc SCD

Áp dụng định lý hàm cosin:

\(cos\widehat{SCD}=\dfrac{SC^2+CD^2-SD^2}{2SC.CD}=\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\widehat{SCD}\approx75^031'\)

b.

Gọi O là tâm đáy, do chóp có đáy là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau nên chóp là chóp đều

\(\Rightarrow SO\perp\left(ABCD\right)\)

\(\Rightarrow\Delta OAB\) là hình chiếu vuông góc của SAB lên (ABCD)

\(OA=OB=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}\sqrt{AB^2+BC^2}=a\)

Mặt khác OA vuông góc OB (2 đường chéo hình vuông)

\(\Rightarrow S_{OAB}=\dfrac{1}{2}OA.OB=\dfrac{a^2}{2}\)

Đáp án C

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD

Tam giác SAB cân tại S suy ra S M ⊥ A B  

⇒ S M ⊥ d , với d = ( S A B ) ∩ ( S C D )  

Vì ( S A B ) ⊥ ( S C D ) suy ra S M ⊥ ( S C D )

Kẻ S H ⊥ M N ⇒ S H ⊥ ( A B C D )  

Ta có S ∆ S A B + S ∆ S C D = 7 a 2 10  

⇒ S M + S N = 7 a 5

Tam giác SMN vuông tại S nên S M 2 + S N 2 = M N 2 = a 2  

Giải hệ  S M + S N = 7 a 5 S M 2 + S N 2 = a 2

Vậy thể tích khối chóp  V S . A B C D = 1 3 . S A B C D . S H = 4 a 3 25