d3.violet.vn//uploads/previews/present/3/770/980/preview.swf

Dự đoán dấu bằng: \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}}\)

\(gt\Leftrightarrow5x^2+2yz.x+4y^2+3z^2-60\text{ (1)}\)

(1) là một pt bậc hai ẩn x

\(\Delta'=y^2z^2-5\left(4y^2+3z^2-60\right)=\left(15-y^2\right)\left(20-z^2\right)\)

Ta có: x, y, z > 0 nên từ giả thiết suy ra: 

\(\hept{\begin{cases}60>4y^2\\60>3z^2\\4y^2+3z^2-60< 0\end{cases}}\)

nên (1) có: \(\hept{\begin{cases}\Delta'>0\\a.c=5\left(4y^2+3z^2-60\right)< 0\end{cases}}\)

Suy ra (1) có 2 nghiệm trái dấu. Do x > 0 nên ta chọn nghiệm dương, hay

\(x=\frac{-yz+\sqrt{15-y^2}.\sqrt{20-z^2}}{5}\)

Áp dụng bđt Côsi: \(x\le\frac{-yz+\frac{15-y^2+20-z^2}{2}}{5}=\frac{35-\left(y^2+z^2+2yz\right)}{10}=\frac{35}{10}-\frac{\left(y+z\right)^2}{10}\)

\(B=x+y+z\le-\frac{\left(y+z\right)^2}{10}+\left(y+z\right)+\frac{35}{10}\)

\(B\le-\frac{1}{10}\left[\left(y+z\right)^2-10\left(y+z\right)+5^2\right]+\frac{25}{10}+\frac{35}{10}\)

\(=-\frac{1}{10}\left(y+z-5\right)^2+6\le6\)

Với \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}}\)thì giả thiết đúng và B = 6.

Vậy Max B = 6.

T chỉ tìm dươc giá trị lớn nhất thôi nhỏ nhất không biết

Đầu tiên ta có: 0 < z < 2\(\sqrt{5}\) ⇒ 20−z² > 0, 3(9−2z) > 0, B−z > 0

\(5x^2+2xyz+4y^2+3z^2=60\)

\(\Leftrightarrow5\left(B-y-z\right)^2+2\left(B-y-z\right)yz+4y^2+3z^2=60\)

\(\Leftrightarrow\left(9-2z\right)y^2-2\left(B-z\right)\left(5-z\right)y+5\left(B-z\right)^2+3\left(z^2-20\right)=0\)

Đế pt theo nghiệm y có nghiệm thì

\(\Delta'=\left(B-z\right)^2\left(5-z\right)^2-\left(9-2z\right)\left(5\left(B-z\right)^2+3\left(z^2-20\right)\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(z^2-20\right)\left(\left(B-z\right)^2-27+6z\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\left(B-z\right)^2-27+6z\le0\)

\(\Rightarrow B\le z+\sqrt{27-6z}\le6\)

B đạt Max là 6 khi x = 1; y = 2; z = 3

Biểu thức B chỉ có max, ko có min:

Từ giả thiết suy ra \(y^2< 15;z^2< 20\)

\(25x^2+10xyz+20y^2+15z^2=300\)

\(\Leftrightarrow\left(5x+yz\right)^2=y^2z^2-20y^2-15z^2+300\)

\(\Leftrightarrow\left(5x+yz\right)^2=\left(15-y^2\right)\left(20-z^2\right)\le\frac{1}{4}\left(35-y^2-z^2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow5x+yz\le\frac{1}{2}\left(35-y^2-z^2\right)\)

\(\Leftrightarrow10x\le35-\left(y+z\right)^2\Rightarrow x\le\frac{35-\left(y+z\right)^2}{10}\)

\(\Rightarrow B\le\frac{35-\left(y+z\right)^2}{10}+y+z=\frac{35-\left(y+z\right)^2+10\left(y+z\right)}{10}=\frac{60-\left(y+z-5\right)^2}{10}\le6\)

\(\Rightarrow B_{max}=6\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(1;2;3\right)\)

Câu 1/

Đặt cái cần tìm là \(P=x+y+z\)

Ta có \(5x^2+2xyz+4y^2+3z^2=60\)

\(\Rightarrow3z^2< 60\)

\(\Rightarrow0< z< 2\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}20-z^2>0\\9-2z>0\\P-z>0\end{matrix}\right.\)

Thay \(x=P-y-z\) vào điều kiện ban đầu ta được.

\(5\left(P-y-z\right)^2+2yz\left(P-y-z\right)+4y^2+3z^2=60\)

\(\Leftrightarrow\left(9-2z\right)y^2-2\left(P-z\right)\left(5-z\right)y+5\left(P-z\right)^2+3\left(z^2-20\right)=0\)

Để PT theo nghiệm y có nghiệm thì

\(\Delta'=\left(P-z\right)^2\left(5-z\right)^2-\left(9-2z\right)\left[5\left(P-z\right)^2+3\left(z^2-20\right)\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(z^2-20\right)\left[\left(P-z\right)^2+6z-27\right]\ge0\)

\(\Rightarrow\left(P-z\right)^2+6z-27\le0\)

\(\Rightarrow P\le z+\sqrt{27-6z}\le6\) (cái này chỉ cần chuyển z qua VP rồi bình phương 2 vế là thấy liền nhé.

Vậy \(MaxP=6\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\\z=3\end{matrix}\right.\)

Câu 3/ Dễ thấy a, b, c không thể đồng thời bằng 0 được.

Ta chứng minh: \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\ge\left(a^3+b^3+c^3-3abc\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2\left(3a^2+3b^2+3c^2-2\left(ab+bc+ca\right)\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2+a^2+b^2+c^2\right]\ge0\) (đúng)

Từ đây ta suy ra \(a^2+b^2+c^2\ge1\)

Dấu = xảy ra khi \(\left(a,b,c\right)=\left(1,0,0;0,1,0;0,0,1\right)\)

PS: Vì không chứng minh được \(x^2+y^2+z^2\ge1\) nên mình chứng minh \(a^2+b^2+c^2\ge1\) nhé.

Câu 2/

Trước tiên ta có:

\(\sqrt{1+a^3}=\sqrt{\left(1+a\right)\left(1-a+a^2\right)}\le\dfrac{1+a+1-a+a^2}{2}=1+\dfrac{a^2}{2}\)

Quay lại bài toán ta có:

\(A=\sqrt{\dfrac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\dfrac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}=\sqrt{\dfrac{1}{1+\left(\dfrac{2y}{x}\right)^3}}+\sqrt{\dfrac{4}{1+\left(\dfrac{x+y}{y}\right)^3}}\)

\(\ge\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2y}{x}\right)^2}+\dfrac{2}{1+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x+y}{y}\right)^2}\)

\(=\dfrac{x^2}{x^2+2y^2}+\dfrac{4y^2}{x^2+3y^2+2xy}\ge\dfrac{x^2}{x^2+2y^2}+\dfrac{4y^2}{2x^2+4y^2}=1\)

Dấu = xảy ra khi x = y

sai đề

Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số x;y;z luôn có 2 số cùng phía so với \(\dfrac{1}{2}\)

Không mất tính tổng quát, giả sử đó là y và z 

\(\Rightarrow\left(y-\dfrac{1}{2}\right)\left(z-\dfrac{1}{2}\right)\ge0\Leftrightarrow yz-\dfrac{1}{2}\left(y+z\right)+\dfrac{1}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow y+z-yz\le\dfrac{1}{2}+yz\)

Mặt khác từ giả thiết:

\(1-x^2=y^2+z^2+2xyz\ge2yz+2xyz\)

\(\Leftrightarrow\left(1-x\right)\left(1+x\right)\ge2yz\left(1+x\right)\)

\(\Leftrightarrow1-x\ge2yz\)

\(\Rightarrow yz\le\dfrac{1-x}{2}\)

Do đó:

\(A=yz+x\left(y+z-yz\right)\le yz+x\left(\dfrac{1}{2}+yz\right)=\dfrac{1}{2}x+yz\left(x+1\right)\le\dfrac{1}{2}x+\left(\dfrac{1-x}{2}\right)\left(x+1\right)\)

\(\Rightarrow A\le-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{5}{8}\le\dfrac{5}{8}\)

\(A_{max}=\dfrac{5}{8}\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)

a/ \(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2=\left(xy-\frac{1}{xy}\right)^2+4\ge4\)

Suy ra Min M = 4 . Dấu "=" xảy ra khi x=y=1/2

b/ Đề đúng phải là \(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\ge\frac{3}{2}\)

Ta có \(6=\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\Rightarrow x+y+z\ge\frac{3}{4}\)

Lại có \(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\ge\frac{9}{8\left(x+y+z\right)}\ge\frac{9}{8.\frac{3}{4}}=\frac{3}{2}\)