Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Lionel Messi

Cho x; y; z là các số thực dương thỏa mãn: \(x^2+y^2+z^2+2xyz=1\)

Tìm max của \(A=xy+yz+zx-xyz\)

Cù Đức Anh
4 tháng 12 2021 lúc 22:33

sai đề

Nguyễn Việt Lâm
4 tháng 12 2021 lúc 23:04

Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số x;y;z luôn có 2 số cùng phía so với \(\dfrac{1}{2}\)

Không mất tính tổng quát, giả sử đó là y và z 

\(\Rightarrow\left(y-\dfrac{1}{2}\right)\left(z-\dfrac{1}{2}\right)\ge0\Leftrightarrow yz-\dfrac{1}{2}\left(y+z\right)+\dfrac{1}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow y+z-yz\le\dfrac{1}{2}+yz\)

Mặt khác từ giả thiết:

\(1-x^2=y^2+z^2+2xyz\ge2yz+2xyz\)

\(\Leftrightarrow\left(1-x\right)\left(1+x\right)\ge2yz\left(1+x\right)\)

\(\Leftrightarrow1-x\ge2yz\)

\(\Rightarrow yz\le\dfrac{1-x}{2}\)

Do đó:

\(A=yz+x\left(y+z-yz\right)\le yz+x\left(\dfrac{1}{2}+yz\right)=\dfrac{1}{2}x+yz\left(x+1\right)\le\dfrac{1}{2}x+\left(\dfrac{1-x}{2}\right)\left(x+1\right)\)

\(\Rightarrow A\le-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{5}{8}\le\dfrac{5}{8}\)

\(A_{max}=\dfrac{5}{8}\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)


Các câu hỏi tương tự
Diệp Nguyễn Thị Huyền
Xem chi tiết
dinh huong
Xem chi tiết
Pham van Thuy
Xem chi tiết
Huy Phạm
Xem chi tiết
Thu Phương Nguyễn
Xem chi tiết
Nguyễn Anh Tuấn
Xem chi tiết
zZz Cool Kid_new zZz
Xem chi tiết
Lê Minh Đức
Xem chi tiết
dekhisuki
Xem chi tiết