Một sợi dây dài 40 cm đang có sóng dừng, ngoài hai đầu cố định, còn có 3 điểm khác đứng yên, tần số sóng là 25 Hz. Khi sợi dây duỗi thẳng tốc độ dao động của điểm bụng là 2,25 π m/s. Gọi x, y lần lượt là khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất giữa hai điểm bụng liên tiếp trên dây. Giá trị của x/y gần giá trị nào nhất sau đây?
A. 1,34
B. 1,43
C. 1,17
D. 1,56
Đáp án A
Dây có 5 nút suy ra 4 bó
Xét 2 điểm bụng cạnh nhau: chúng dao động ngược pha. Khoảng cách nhỏ nhất của chúng là lúc cả 2 đang ở VTCB (đoạn PQ) và khoảng cách lớn nhất là lúc cả 2 đang ở biên (đoạn MN).
1/ Cho đường thẳng (d): y=2x+m+1. Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d) cắt trục tung và trục hoành tại A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 9 (đvdt).
2/ Cho parabol (P): y=x^2
và đường thẳng (d) có hệ số góc là a khác 0 đi qua điểm M(1;2)
a/ Cm rằng (d) luôn luôn cắt P tại hai điểm phân biệt với mọi a khác 0.
b/ Gọi xA và xB là hoành độ giao điểm của P và d. Chứng minh rằng xA+xB-xA.xB=2.
3/ Cho đường thẳng d: (m+1)x + (m-3)y=1
a/ Chứng minh đường thẳng d luôn đi qua một điểm với mọi m và tìm điểm cố định đó.
b/ Gọi h là khoảng cách từ O đến đường thẳng d. Tìm các giá trị của m để h lớn nhất.
Cho hàm số y = x 3 − m x 2 + 3 x + 1 và M 1 ; − 2 . Biết có 2 giá trị của m là m 1 và m 2 để đường thẳng Δ : y = x + 1 cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt A 0 ; 1 , B, C sao cho Δ M B C có diện tích bằng 4 2 . Hỏi m 1 2 + m 2 2 thuộc khoảng nào trong các khoảng nào sau đây
A. 15 ; 17
B. 3 ; 5
C. 31 ; 33
D. 16 ; 18
Đáp án C
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là
x 3 − m x 2 + 3 x + 1 = x + 1 ⇔ x 3 − m x 2 + 2 x = 0 ⇔ x x 2 − m x + 2 = 0 = 0 ⇔ x = 0 x 2 − m x + 2 = 0 = 0 *
Để (C) cắt d tại 3 điểm phân biệt ⇔ * có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ m > 2 2 m < − 2 2
Gọi A 0 ; 1 , B x 1 ; y 1 , C x 2 ; y 2 là tọa độ giao điểm của (C) và d
Với x 1 ; x 2 là nghiệm phương trình * , suy ra x + x 2 = m x 1 . x 2 = 2 ⇒ x 1 − x 2 2 = m 2 − 8
Khoảng cách từ M đến BC là:
d M ; Δ = 4 2 ⇒ S M B C = 1 2 d M ; Δ . B C = 4 2 ⇒ B C = 4
Mà:
B C = x 2 − x 1 2 + y 2 − y 1 2 = 2 x 2 − x 1 2 = 2 m 2 − 16 ⇒ 2 m 2 − 16 = 16 ⇒ m = ± 4
Vậy m 1 2 + m 2 2 = 4 2 + − 4 2 = 32 ∈ 31 ; 33
Cho đường tròn \(\left(C\right):\left(x-6\right)^2+\left(y-7\right)^2=16\). Gọi \(M,N\) là 2 điểm chuyển động trên \(\left(C\right)\). Tìm khoảng cách lớn nhất giữa 2 điểm M, N
Khoảng cách lớn nhất giữa MN là khi MN là đường kính của (C)
=>MN=4*2=8
Cho ba số thực x, y, z không âm thỏa mãn \(2^x+4^y+8^z=4\). Gọi M, N lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S=\dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{3}+\dfrac{z}{2}\). Đặt \(T=2M+6N\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. \(T\in\left(1,2\right)\) B. \(T\in\left(2,3\right)\) C. \(T\in\left(3,4\right)\) D. \(T\in\left(4,5\right)\)
Giải chi tiết cho mình với ạ, mình cảm ơn nhiều ♥
Đặt \(\left(\dfrac{x}{6};\dfrac{y}{3};\dfrac{z}{2}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow2^{6a}+4^{3b}+8^{2c}=4\)
\(\Leftrightarrow64^a+64^b+64^c=4\)
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(4=64^a+64^b+64^c\ge3\sqrt[3]{64^{a+b+c}}\Rightarrow64^{a+b+c}\le\dfrac{64}{27}\)
\(\Rightarrow a+b+c\le log_{64}\left(\dfrac{64}{27}\right)\Rightarrow M=log_{64}\left(\dfrac{64}{27}\right)\)
Lại có: \(x;y;z\ge0\Rightarrow a;b;c\ge0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}64^a\ge1\\64^b\ge1\\64^c\ge1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(64^b-1\right)\left(64^c-1\right)\ge0\)
\(\Rightarrow64^{b+c}+1\ge64^b+64^c\) (1)
Lại có: \(b+c\ge0\Rightarrow64^{b+c}\ge1\Rightarrow\left(64^a-1\right)\left(64^{b+c}-1\right)\ge0\)
\(\Rightarrow64^{a+b+c}+1\ge64^a+64^{b+c}\) (2)
Cộng vế (1);(2) \(\Rightarrow4=64^a+64^b+64^c\le64^{a+b+c}+2\)
\(\Rightarrow64^{a+b+c}\ge2\Rightarrow a+b+c\ge log_{64}2\)
\(\Rightarrow N=log_{64}2\)
\(\Rightarrow T=2log_{64}\left(\dfrac{64}{27}\right)+6log_{64}\left(2\right)\approx1,4\)
Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn 0 < a < b < c < d và hàm số y = f(x). Biết hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên [ 0 ; d ] . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. M + m = f(b) + f(a)
B. M + m = f(d) + f(c)
C. M + m = f(0) + f(c)
D. M + m = f(0) + f(a)
Cho x , y là các số thực thỏa mãn x + y = x - 1 + 2 y + 2 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P = x 2 + y 2 + 2 ( x + 1 ) ( y + 1 ) + 8 4 - x - y . Khi đó, giá trị của M+m bằng.
A. 41
B. 42
C. 43
D. 44
Trong một thí nghiệm giao thoa sóng nước, hai nguồn S1 và S2 cách nhau 16 cm; dao động theo phương vuông góc với mặt nước, cùng pha, cùng biên độ, cùng tần số 80 Hz. Tốc độ truyền sóng trên mặt nước là 40 cm/s. Ở mặt nước, gọi d là đường trung trực của đoạn S1S2. Trên d, điểm M cách S1 một khoảng 10 cm, điểm N dao động cùng pha với M và gần M nhất sẽ cách M một đoạn có giá trị gần giá trị nào nhất sau đây?
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+y+z+m= 0 (m là tham số) và mặt cầu (S): ( x - 2 ) 2 + ( y + 1 ) 2 + z 2 = 16 . Tìm các giá trị của m để (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất.
A. - 1 - 4 3 ≤ m ≤ - 1 + 4 3 .
B. m ≠ 0 .
C. m =1.
D. m = -1
