b: góc EHC=90 độ-góc OHE

=90 độ-góc ODE

=(180 độ-2*góc ODE)/2

=góc DOE/2

=góc EHD

=>HC là phân giác của góc DHE

a/

Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm ngoài đường tròn thì đường thẳng nối điểm đó với tâm đường tròn vuông góc và chia đôi dây cung nối 2 tiếp điểm

\(\Rightarrow AO\perp BC\) (đpcm)

\(\Rightarrow BH=CH=\dfrac{BC}{2}\)

b/

Ta có

B và C cùng nhìn AO dưới 1 góc vuông nên B và C cùng nằm trên đường tròn đường kính AO => A; O; B; C cùng nằm trên 1 đường tròn

c/

Ta có sđ cung IB = sđ cung IC ( Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm ngoài đường tròn thì chia đôi cung chắn bởi hai tiếp điểm)

Xét tg vuông IBK và tg vuông IBH có

\(sđ\widehat{IBK}=\dfrac{1}{2}sđ\) cung IB (góc giữa tiếp tuyến và dây cung)

\(sđ\widehat{IBH}=\dfrac{1}{2}sđ\) cung IC (góc nội tiếp đường tròn)

Mà sđ cung IB = sđ cung IC (cmt)

\(\Rightarrow\widehat{IBK}=\widehat{IBH}\)

cạnh huyền IB chung

\(\Rightarrow\Delta IBK=\Delta IBH\) (Hai tg vuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng bằng nhau) 

\(\Rightarrow IK=IH\) (đpcm)

d/ Mình nghĩ mãi chỉ có 1 cách nhưng hơi dài mình nói cách làm thôi nhé

Vận dụng các hệ thức lượng trong tg vuông và t/c của hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm Sẽ tính được AB=AC;BC; AH từ đó tính được diện tích tg ABC 

Vận dụng công thức \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sin\widehat{KAE}\) từ đó tính được \(\sin\widehat{KAE}\)

Tương tự ta cũng tính được \(\sin\widehat{AKE}\)

Vận dụng định lý hàm sin

\(\dfrac{KE}{\sin\widehat{KAE}}=\dfrac{AE}{\sin\widehat{AKE}}\Rightarrow\dfrac{KM+EM}{\sin\widehat{KAE}}=\dfrac{AC+EC}{\sin\widehat{AKE}}\)

Mà KM=KB (hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm)

tg IBK = tg IBH (cmt) => KB=BH

=> KB=KM=BH Mà BH tính được AC tính được; EM=EC (2 tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm)

Giải PT để tìm EC Từ đó tính được AK; KE; AE

\(\Rightarrow S_{AKE}=\dfrac{1}{2}\left(AK+KE+AE\right).R\)

Bạn tự làm nhé

a ) Ta có : AB , AC là tiếp tuyến của (O)

$\Rightarrow AB\perp OB,AC\perp OC$

$\Rightarrow \widehat{ABO}+\widehat{ACO}={90}^0+{90}^0={180}^0\Rightarrow ABOC$ nội tiếp

b ) Vì AB là tiếp tuyến của (O)

$\Rightarrow \widehat{ABE}=\widehat{ADB}\Rightarrow \Delta ABE\sim \Delta ADB\left(g.g\right)$

$\Rightarrow \frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AB}\Rightarrow A{B}^2=AE.AD$

c ) Ta có :

1) Do DB và DC là 2 tiếp tuyến của (O) => ^DBO=^DCO=90⁰ 

=> Tứ giác DBOC nội tiếp đường tròn (Tâm là trung điểm OD) (1)

Xét tứ giác DHOC: ^DHO=^DCO=90⁰ 

=> Tứ giác DHOC nội tiếp đường tròn (Tâm là trung điểm DO) (2)

Từ (1) và (2) => 5 điểm D,H,B,O,C cùng nằm trên 1 đường tròn (đpcm)

DB và DC là 2 tiếp tuyến của (O) => DB=DC => D thuộc trung trực của BC

Mà BC là dây cung của (O) nên O cũng thuộc trung trực của BC  

=> OD \(\perp\)BC (tại I) => ^DIA=90⁰

Xét tứ giác DIHA: ^DHA=^DIA=90⁰ (cmt) => Tứ giác DIHA nội tiếp đường tròn (đpcm).

2) Dễ chứng minh \(\Delta\)OBI ~ \(\Delta\)ODB (g.g) => \(\frac{OB}{OD}=\frac{OI}{OB}\Rightarrow OB^2=OI.OD\)

Mà OB=OM (cùng nằm trên (O)) => \(OM^2=OI.OD\)(3)

Hoàn toàn c/m được \(\Delta\)OHD ~ \(\Delta\)OIA  (g.g) => \(\frac{OH}{OI}=\frac{OD}{OA}\Rightarrow OH.OA=OI.OD\)(4)

Từ (3) và (4) => \(OM^2=OH.OA\)=> \(\frac{OM}{OA}=\frac{OH}{OM}\)

Xét \(\Delta\)OHM và \(\Delta\)OMA: \(\frac{OM}{OA}=\frac{OH}{OM}\); ^MOA chung => \(\Delta\)OHM ~ \(\Delta\)OMA (c.g.c)

=> ^OHM=^OMA. Ta có ^OHM=90⁰ => ^OMA=90⁰ => AM là tiếp tuyến của (O) (đpcm).

3) Ta có 5 điểm B,H,D,O,C cùng thuộc 1 đường tròn (cmt)

Suy ra Tứ giác BHOC và tứ giác DHOC nội tiếp đường tròn

Tứ giác BHOC nội tiếp đg tròn => ^ABH=^COH (Cùng bù ^HBC)

Dễ thấy ^BAH=^HDO (Cùng phụ ^DOA) (5)

Do tứ giác DHOC nôi tiếp đg tròn => ^HDO=^OCH (6)

Từ (5); (6) => ^BAH=^OCH

Xét \(\Delta\)AHB và \(\Delta\)CHO: ^ABH=^COH; ^BAH=^OCH => \(\Delta\)AHB ~ \(\Delta\)CHO (g,g)

\(\Rightarrow\)\(\frac{HB}{HO}=\frac{AH}{HC}\Rightarrow HB.HC=AH.HO\)(7)

Nhận thấy Đường tròn (O) có tiếp tuyến AM cố định (Do A cố định) 

Mà MH\(\perp\)AO tại H => H cố định => AH và HO có giá trị không đổi 

Nên AH.HO không đổi (8)

Từ (7) và (8) => HB.HC không đổi khi d quay quanh A (đpcm).

a: góc OBA+góc OCA=180 độ

=>OBAC nội tiếp

b: góc BCD=1/2*180=90 độ

=>CD vuông góc BC

Xét (O) có

AB,AC là tiếp tuyến

=>AB=AC

mà OB=OC

nên OA là trung trực của BC

=>OA//CD

c: góc ABM+góc OBM=90 độ

gócCBM+góc OMB=90 độ

mà góc OBM=góc OMB

nên góc ABM=góc CBM

=>BM là phân giác của góc ABC

=>M là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC

a: Xét (O) có

AB,AC là tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC

Xét (O) có

ΔDMC nội tiếp

DC là đường kính

Do đó: ΔDMC vuông tại M

=>CM\(\perp\)MD tại M

=>CM\(\perp\)AD tại M

Xét tứ giác AMHC có \(\widehat{AMC}=\widehat{AHC}=90^0\)

nên AMHC là tứ giác nội tiếp