a. xét (O):

sđ : \(\widehat{AB}=180\) (cung chắn nửa đường tròn)

sđ \(\widehat{AC}=sđ\widehat{BC}=\dfrac{1}{2}sđ\widehat{AB}\)

⇒\(sđ\widehat{AC}=sđ\widehat{BC}=90\)

mà \(\widehat{AC}=\widehat{AOC}\)⇒ \(\widehat{AOC}=90\)

\(\widehat{AIC}=90\) ⇒ \(\widehat{AOC}=\widehat{AIC}\)

⇒ tứ giác ACIO nội tiếp

\(\Delta AOC\) vuông tại (O)     (\(\widehat{AOC}=90\))

OA=OC=R    (A;C ϵ (O;R))

⇒ΔAOC vuông cân

⇒\(\widehat{CAO}=45\)   (t/c tam giác vuông cân)

mà \(\widehat{CAO}+\widehat{CIO}=180\)

⇒\(\widehat{CIO}=180-45=135\)

\(\widehat{CIO}+\widehat{OID}=180\)      (t/c kề bù)

⇒\(\widehat{OID}=180-135=45\)

b.ACIO nội tiếp    (cmt)

\(\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{O_1}\)   ( 2 góc nội tiếp chắn \(\widehat{CI}\))

xét (O):

⇒\(\widehat{A_1}=\dfrac{1}{2}\widehat{COM}\)     (t/c đường tròn)

mà \(\widehat{A_1}=\widehat{O_1}\)

⇒\(\widehat{O_1}=\dfrac{1}{2}\widehat{COM}\)     

OI nằm giữa OC và OM

⇒OI là tia phân giác của \(\widehat{COM}\)

c. xét ΔAOC vuông cân tại (O)      (cmt)

AC\(^2\) = OA\(^2\) + OC\(^2\)

AC\(^2\) = R\(^2\)+R\(^2\) 

AC = R\(\sqrt{2}\)

xét (O;R)   \(sđ\widehat{AC}=sđ\widehat{BC}\)    (cmt)

⇒AC=BC

mà AC=R\(\sqrt{2}\)
⇒ BC=\(R\sqrt{2}\)

mà Ck=BK=\(\dfrac{1}{2}BC\)     ( K là trung điểm BC)

⇒CK=BK=\(\dfrac{R\sqrt{2}}{2}\)

xét (O) có C ∈ (O)

⇒ACB=90

⇒ ΔACK vuông tại C

CI là đường cao của ΔACK

⇒\(\dfrac{1}{CI^2}=\dfrac{1}{CA^2}+\dfrac{1}{CK^2}\)     (hệ thức lượng)

⇒\(\dfrac{1}{CI^2}=\dfrac{1}{2R^2}+\dfrac{2}{R^2}=\dfrac{5}{2R^2}\)

⇒CI=\(\dfrac{R.\sqrt{10}}{5}\)

 ΔACK vuông tại C (cmt)

\(AK^2=AC^2+CK^2\)    (pitago)

\(AK^2=2R^2+\dfrac{R^2}{2}=\dfrac{5R^2}{2}\)

⇒AK=\(\dfrac{R\sqrt{10}}{2}\)

xét  ΔACK vuông tại C, đường cao CI

IK.AK=CK\(^2\)

IK=\(\dfrac{CK^2}{AK}=\dfrac{R^2}{2}\div\dfrac{R\sqrt{10}}{2}\)=\(\dfrac{R\sqrt{10}}{10}\)

M ∈ (O) 

⇒\(\widehat{AMB}=90\)

⇒ΔBHK vuông tại M

xét ΔCIK vuông tại I và ΔBMK vuông tại M có

Ck=Bk

\(\widehat{CKI}=\widehat{BKM}\)

⇒ΔCIK = ΔBMK (c/h-g/n)

⇒IK=MK và CI=CM

AM=AK+KM

AM=\(\dfrac{R\sqrt{10}}{2}+KM\)

mà KM=IM=\(\dfrac{R\sqrt{10}}{10}\)

⇒AM=\(\dfrac{R\sqrt{10}}{2}+\dfrac{R\sqrt{10}}{10}=\dfrac{3R\sqrt{10}}{5}\)

mà BM=CI=\(\dfrac{R\sqrt{10}}{5}\)

⇒\(\dfrac{AM}{BM}=3\)

a: góc ACD=góc AMD=90 độ

=>ACMD nội tiếp

góc BMK+góc BCK=180 độ

=>BMKC nội tiếp

b: Xét ΔCAK vuông tại C và ΔCDB vuông tại C có

góc CAK=góc CDB

=>ΔCAK đồng dạng với ΔCDB

=>CA/CD=CK/BC

=>CA*CB=CD*CK

1. vì M là điểm nằm chính giữa cung AC⇒AH=HC

-->OM đi qua trung điểm H của dây cung AC

--->OM⊥AC hay ∠MHC=90

có ∠AMB=90 (góc nội tiếp) nên BM//CK

⇒∠AMB=∠MKC=90 có ∠MKC+∠MHC=90+90=180

⇒tứ giác CKMH nội tiếp

2.ΔABC có ∠CBA+∠CAB=90

ΔAHO có ∠HOA+∠CAB=90

→∠CBA=∠HOA⇒CB//OH hay CB//MD

mà CD//MB ⇒tứ giác CDBM là hình bình hành

⇒CD=MB và DM=CB

a) Vì M là điểm chính giữa cung AC \(\Rightarrow OM\bot AC\Rightarrow\angle MHC=90\)

Vì AB là đường kính \(\Rightarrow\angle AMB=90\Rightarrow AM\bot MB\) 

mà \(MB\parallel CD\Rightarrow AM\bot CD\Rightarrow \angle MKC=90\)

\(\Rightarrow CKMH\) nội tiếp

b) Vì AB là đường kính \(\Rightarrow\angle ACB=90\Rightarrow CB\bot AC\)

mà \(DM\bot AC\Rightarrow\)\(CB\parallel DM\) mà \(CD\parallel BM\Rightarrow DMBC\) là hình bình hành

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}CD=MB\\BC=DM\end{matrix}\right.\)

c) DA là tiếp tuyến mà \(AC\bot DO\Rightarrow\) DC là tiếp tuyến

\(\Rightarrow DC\bot CO\) mà \(DC\parallel BM\Rightarrow BM\bot CO\Rightarrow\) C là điểm chính giữa MB

\(\Rightarrow\stackrel\frown{CB}=\stackrel\frown{CM}=\stackrel\frown{MA}\Rightarrow\stackrel\frown{CB}=\stackrel\frown{CM}=\stackrel\frown{AM}=60\)

\(\Rightarrow\) để AD là tiếp tuyến thì C nằm trên nửa đường tròn sao cho \(\widehat{BOC}=60\)

d) Từ câu c \(\Rightarrow\Delta BOC\) đều \(\Rightarrow BC=R\)

\(\Rightarrow AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{3}R\)

\(\Delta MAO\) đều \(\)có \(AH\bot MO\Rightarrow HM=HO=\dfrac{1}{2}R\)

Ta có: \(\Delta DAO\) vuông tại A có \(AM=MO\Rightarrow AM=MO=MD=R\)

\(\Rightarrow DH=\dfrac{3}{2}R\)

Ta có: diện tích phần tam giác ACD ngoài đường tròn là:

\(=S_{ACD}-\left(S_{qAOC}-S_{AOC}\right)=\dfrac{1}{2}DH.AC-\left(\dfrac{\pi R^2.120}{360}-\dfrac{1}{2}.OH.AC\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2}R.\sqrt{3}R-\left(\dfrac{1}{3}\pi R^2-\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}R.\sqrt{3}R\right)\)

\(=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}R^2-\left(\dfrac{1}{3}\pi-\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)R^2=\left(\dfrac{3\sqrt{3}}{4}-\dfrac{1}{3}\pi+\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)R^2\)

ý tưởng là vậy chứ tính toán thì bạn kiểm tra lại nghe (mình không chắc mình tính đúng cho lắm)

a) Xét (O) có 

ΔAMB nội tiếp đường tròn(A,M,B\(\in\)(O))

AB là đường kính(gt)

Do đó: ΔMAB vuông tại M(Định lí)

\(\Leftrightarrow AM\perp MB\) tại M

\(\Leftrightarrow AM\perp BD\) tại M

\(\Leftrightarrow\widehat{AMD}=90^0\)

Xét tứ giác ADMC có 

\(\widehat{AMD}=\widehat{ACD}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{AMD}\) và \(\widehat{ACD}\) là hai góc cùng nhìn cạnh AD

Do đó: ADMC là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)