Cho đường tròn (O;R) , đường kính AB , C là điểm chính giữa cung AB , K là trung điểm BC , AK cắt đường tròn (O) tại M. Vẽ CI vuông góc với AM tại I cắt AB tại D. a) Chứng minh tứ giác ACIO nội tiếp . Tính số đo góc OID b) Chứng minh OI là tia phân giác góc COM c) Chứng minh ∆CIO ∽ ∆CMB . Tính tỉ số OM/MB
a. xét (O):
sđ : \(\widehat{AB}=180\) (cung chắn nửa đường tròn)
sđ \(\widehat{AC}=sđ\widehat{BC}=\dfrac{1}{2}sđ\widehat{AB}\)
⇒\(sđ\widehat{AC}=sđ\widehat{BC}=90\)
mà \(\widehat{AC}=\widehat{AOC}\)⇒ \(\widehat{AOC}=90\)
\(\widehat{AIC}=90\) ⇒ \(\widehat{AOC}=\widehat{AIC}\)
⇒ tứ giác ACIO nội tiếp
\(\Delta AOC\) vuông tại (O) (\(\widehat{AOC}=90\))
OA=OC=R (A;C ϵ (O;R))
⇒ΔAOC vuông cân
⇒\(\widehat{CAO}=45\) (t/c tam giác vuông cân)
mà \(\widehat{CAO}+\widehat{CIO}=180\)
⇒\(\widehat{CIO}=180-45=135\)
\(\widehat{CIO}+\widehat{OID}=180\) (t/c kề bù)
⇒\(\widehat{OID}=180-135=45\)
b.ACIO nội tiếp (cmt)
\(\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{O_1}\) ( 2 góc nội tiếp chắn \(\widehat{CI}\))
xét (O):
⇒\(\widehat{A_1}=\dfrac{1}{2}\widehat{COM}\) (t/c đường tròn)
mà \(\widehat{A_1}=\widehat{O_1}\)
⇒\(\widehat{O_1}=\dfrac{1}{2}\widehat{COM}\)
OI nằm giữa OC và OM
⇒OI là tia phân giác của \(\widehat{COM}\)
c. xét ΔAOC vuông cân tại (O) (cmt)
AC\(^2\) = OA\(^2\) + OC\(^2\)
AC\(^2\) = R\(^2\)+R\(^2\)
AC = R\(\sqrt{2}\)
xét (O;R) \(sđ\widehat{AC}=sđ\widehat{BC}\) (cmt)
⇒AC=BC
mà AC=R\(\sqrt{2}\)
⇒ BC=\(R\sqrt{2}\)
mà Ck=BK=\(\dfrac{1}{2}BC\) ( K là trung điểm BC)
⇒CK=BK=\(\dfrac{R\sqrt{2}}{2}\)
xét (O) có C ∈ (O)
⇒ACB=90
⇒ ΔACK vuông tại C
CI là đường cao của ΔACK
⇒\(\dfrac{1}{CI^2}=\dfrac{1}{CA^2}+\dfrac{1}{CK^2}\) (hệ thức lượng)
⇒\(\dfrac{1}{CI^2}=\dfrac{1}{2R^2}+\dfrac{2}{R^2}=\dfrac{5}{2R^2}\)
⇒CI=\(\dfrac{R.\sqrt{10}}{5}\)
ΔACK vuông tại C (cmt)
\(AK^2=AC^2+CK^2\) (pitago)
\(AK^2=2R^2+\dfrac{R^2}{2}=\dfrac{5R^2}{2}\)
⇒AK=\(\dfrac{R\sqrt{10}}{2}\)
xét ΔACK vuông tại C, đường cao CI
IK.AK=CK\(^2\)
IK=\(\dfrac{CK^2}{AK}=\dfrac{R^2}{2}\div\dfrac{R\sqrt{10}}{2}\)=\(\dfrac{R\sqrt{10}}{10}\)
M ∈ (O)
⇒\(\widehat{AMB}=90\)
⇒ΔBHK vuông tại M
xét ΔCIK vuông tại I và ΔBMK vuông tại M có
Ck=Bk
\(\widehat{CKI}=\widehat{BKM}\)
⇒ΔCIK = ΔBMK (c/h-g/n)
⇒IK=MK và CI=CM
AM=AK+KM
AM=\(\dfrac{R\sqrt{10}}{2}+KM\)
mà KM=IM=\(\dfrac{R\sqrt{10}}{10}\)
⇒AM=\(\dfrac{R\sqrt{10}}{2}+\dfrac{R\sqrt{10}}{10}=\dfrac{3R\sqrt{10}}{5}\)
mà BM=CI=\(\dfrac{R\sqrt{10}}{5}\)
⇒\(\dfrac{AM}{BM}=3\)
