Có \(\hept{\begin{cases}\left|a\right|+\left|b\right|\ge0\\\left|a-b\right|\ge0\end{cases}}\)

\(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a-b\right|\)

\(\Leftrightarrow\left(\left|a\right|+\left|b\right|\right)^2\ge\left|a-b\right|^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+2.\left|a\right|.\left|b\right|+b^2\ge a^2-2ab+b^2\)

\(\Leftrightarrow2.\left|a\right|.\left|b\right|\ge2ab\)( luôn đúng )

\(\Rightarrow\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a-b\right|\)

                             đpcm

Gải sử.. 

\(1)\)\(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a-b\right|\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(\left|a\right|+\left|b\right|\right)^2\ge\left|a-b\right|^2\)

Có \(\left|a-b\right|^2=\left(a-b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^2+2\left|ab\right|+b^2\ge a^2-2ab+b^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left|ab\right|\ge-ab\) ( đúng ) 

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(ab< 0\)

\(2)\)\(\left|a\right|+\left|b\right|+\left|c\right|\ge\left|a+b+c\right|\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(\left|a\right|+\left|b\right|+\left|c\right|\right)^2\ge\left|a+b+c\right|^2\)

Có \(\left|a+b+c\right|^2=\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^2+b^2+c^2+2\left|ab\right|+2\left|bc\right|+2\left|ca\right|\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left|ab\right|+\left|bc\right|+\left|ca\right|\ge ab+bc+ca\) ( đúng ) 

Dấu "=" xảy ra khi a, b, c cùng dấu ( cùng dương hoặc cùng âm ) 

\(3)\) Sai đề thì phải. Giả sử \(a=3;b=0\) thì \(\left|a+b\right|< \left|1+ab\right|\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left|3+0\right|< \left|1+3.0\right|\)\(\Leftrightarrow\)\(3< 1\) ( ??? ) 

... 

A)

\(2\left(A^2+B^2\right)\ge\left(A+B\right)^2\ge2\left(AB+BA\right)\\ \Leftrightarrow2A^2+2B^2\ge A^2+2AB+B^2\ge2AB+2BA\)

\(2A^2+2B^2\ge A^2+2AB+B^2\\ \Leftrightarrow A^2+B^2\ge2AB\\ \Leftrightarrow A^2+B^2-2AB\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(A-B\right)^2\ge0\) (LUÔN ĐÚNG) (1)

\(A^2+2AB+B^2\ge2AB+2BA\\ \Leftrightarrow A^2+B^2\ge2BA\\ \Leftrightarrow A^2+B^2-2BA\ge0\)

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

\(a^{10}b^2+b^{10}a^2\ge a^8b^4+b^8a^4\)

\(\Leftrightarrow a^8+b^8\ge a^6b^2+b^6a^2\) (Do \(a^2b^2\ge0\))

\(\Leftrightarrow\left(a^6-b^6\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2\left(a^4+a^2b^2+b^4\right)\ge0\) (luôn đúng).

Vậy ta có đpcm.

\(a^8+b^8-a^6b^2-a^2b^6=\left(a^8-a^6b^2\right)+\left(b^8-a^2b^6\right)=a^6\left(a^2-b^2\right)+b^6\left(b^2-a^2\right)=\left(a^6-b^6\right)\left(a^2-b^2\right)\) nên suy ra được như vậy Quỳnh Anh

Áp dụng bất đẳng thức \(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\) ta có:

\(8\left(a^4+b^4\right)\ge4\left(a^2+b^2\right)^2=\left[2\left(b^2+c^2\right)\right]^2\ge\left(a+b\right)^4\).